复变函数与积分变换试题与答案 、填空题(3分×10) 1.(16)的指数表达形式为 2.设c是从zi到z=1的线段, dz ≤ 4.级数∑一的敛散性为 5.函数f() 的弧立奇点z=∞的类型是 6.函数f()=在z=∞处的留数 7.1+2-+3-2+…+n 的和函数的解析域是: 8.单连通域D内的解析函数f()在D内沿任意简单曲线的积分与路 径 9.保形映照的概念: 10.若f1(t)=f2(m)=0(<0),则定义f(1)*f2(t) 、解答题(7分×6) 1.证明:f(=)=x3+3x2y2-3xy2-y在整个复平面上解析,并求其导数 f'() 1
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题（3 分×10） 1． 4 1 )16( 的指数表达形式为： 。 2．设 c 是从 z=i 到 z=1 的线段，则 ≤ ∫ c z dz 4 。 3． = − ∫ =2|| )( z n iz dz 。 4．级数∑ ∞ n=1 n n i 的敛散性为： 。 5．函数 2 1 )( z e zf z − = 的弧立奇点 z = ∞ 的类型是： 。 6．函数 2 1 )( z zf = 在 处的留数 z ∞= 。 7．1+2z+3z 2 +…+nzn-1 +…的和函数的解析域是： 。 8．单连通域 D 内的解析函数 f(z)在 D 内沿任意简单曲线的积分与路 径 。 9．保形映照的概念： 。 10．若 )0(0)()(1 = 2 ttftf <= ，则定义 1 ∗ 2 tftf )()( = 。 二、解答题（7 分×6） 1．证明： iyxyyixxzf 3 2 32 = −+ 33)( − 在整个复平面上解析，并求其导数 ′ zf )( . 1
2.已知∫(z)的虚部为v(xy)=-x+2 y2,求一解析函数 f(=)=u+i且f(0)=0 3.计算积分: 4.将函数()=(-Df在圆环1d=-k内展为罗明级数
2 ．已知 f （ z ）的虚部为 2 2 2 1 2 1 ),( +−= yxyxv ，求一解析函数 )( += 且fivuzf = 0)0( . 3．计算积分：∫ =2|| − 3 )( z izz dz 4．将函数 )( 1 )( 2 izz zf − = 在圆环 < − iz ||1 < ∞ 内展为罗朗级数 2
5.计算积分: 6.求把上半平面n(二)>0保形映照为上半平面ln()>0的分式线性映照
5．计算积分：∫ = 2 −− 1 || 10 2 )2)(1( z zzz dz 6．求把上半平面 保形映照为上半平面 的分式线性映照 zI > 0)( . m wI > 0)( m 3
解答题:(7分×4) 已知某函数的傅氏变换为F(v)=x[b(+w)+(+)求该函数 2.求如下图所示的锯齿形波的拉氏变换。 3T-2770T2T37
三、解答题：（7 分×4） 1．已知某函数的傅氏变换为 )]()([)( = π δ + 0 + δ + wwwwwF 0 求该函数。 2．求如下图所示的锯齿形波的拉氏变换。 4 -3T -2T -T O T 2T 3T t T
L U TIE 3.求函数(t-1)2e的拉氏变换。 4.求微分方程y"+3y”+3y+y=1,y(0)=y(0)=y"(0)=0的解。 5
L [fT(τ)]= ∫ − − − T ST ST dtte 1 e 0 1 3．求函数 t et 2 − )1( 的拉氏变换。 4．求微分方程 ′′′ + ′′ + ′ + yyyy = 133 ， = ′ = yyy ′′ = 0)0()0()0( 的解。 5
参考答案 2k 2mi 2.4√2 4.收敛 (n-1) 5.本性奇点 6.0 7|二k18无关
参考答案 一、1． i k e π 4 12 2 + 2. 24 3. )!1( 2 n − πi 4.收敛 5. 本性奇点 6.0 7. z < 1|| 8.无关 6
9.解析函数∫()((=)≠0)构成的映照 10.f(r)/2(t-r)dr 证:∵u=x3-3xy2y=3 且四个偏导连续 ∴f(z)在整个复平面上解析 (4分) ∴f(z)=3x2-3y2+16xy=3z2 (3分) v t u=xy+g(x) =y= ∴l=xy+g(x) (3分) f(0)=l(0,0)+i(0,0)=c=0 (2分) ∴f(二)=( y )i+xy=--z (2分) 3.解:原式(2分)= dz d (4分)=2m、12ny (1分) 原式(4分)=2m∑R 1=0,=2=i (3分)=2m-+
9．解析函数 zf )( ′ zf ≠ )0)(( 构成的映照 10. dtff τττ t )()( 2 0 1 − ∫ 二、1．证：∵ 3 2 = − 3xyxu 2 3 = 3 − yyxv y u yx x u ∂ ∂ =−= ∂ ∂ 2 2 33 ， x u xy y u ∂ ∂ −=−= ∂ ∂ 6 且四个偏导连续 ∴f(z)在整个复平面上解析 (4 分) ∴ 633)( xyiyxzf 2 2 ′ = +− 2 = 3z （3 分） 2．解：∵ y u x x v ∂ ∂ == ∂ ∂ − ∴ = + xgxyu )( x u y y v ∂ ∂ == ∂ ∂ ∴ = + ′ xgxyu )( ∴ = xyu + c （3 分） ∵ =+= civuf = 0)0,0()0,0()0( （2 分） ∴ xyiy x zf ) ++−= 2 1 2 ()( 2 2 2 2 z i −= （2 分） 3．解：原式（2 分）= = ∫∫ =− − + − 2 1 || 3 2 1 || 2 )( 1 )( 1 z iz dz iz z dz z iz （4 分） 022 1 !2 2 )( 1 2 3 =−= ″ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅+ − ⋅= = ππ π π iz z i i i （1 分） 原式（4 分）= ∑= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 3 , )( 1 Re2 k k z izz π si = ,0 2 = izz1 （3 分）= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅+ 3 2 !2 11 2 ii πi =0 7
4.解 (二-i) (3分) (3分 原式=∑(-1)(n+1) (二-i) (1分)14x-iRe ,k=1=12=2,=3 (2分) (二-1)(二-2) sf(=) (1分) Reslf(=), 2 (1分) Reslf(), ool 0=0 (1分) 原式=-2m1 (1分) 解:∵ln(二)=0映为In()=0 设a,b,C,d实数 az+b (3分) d /n()=(-)= 2i cz+d c2+d 1 2l(az +b)(cz+d)I(az+b)(c=+d) I cz+d l ic=+d
4．解：∵ ∑ ∞ = − − − = − + − = −+ = 0 )( 1 )( 1 1 1111 m n n iz i iz iz iziziz i = ∑ ∞ = + − − 0 1 )( 1 )( m n n iz i （3 分） ∑ ∞ = + − +−−= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 0 2 2 2 )( 1 )1()()1( 11 n n n iz ni z z （3 分） 原式= ∑ ∞ = + − +−0 3 )( 1 )1()( m n n iz ni （1 分） < − iz ||1 < ∞ 5．解：原式= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− 0, )2)(1( 1 Re2 10 2 zzz π si （1 分） = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − ∑= k K z zzz si , )2)(1( 1 Re2 10 2 3 1 π 1 = 2 = ,2,1 zzz 3 ∞= （2分） ∵ zfs = 1]1),([Re （1 分） 9 2 10 2 3 )1( 1 ]2),([Re −= ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = z= zz zfs （1 分） 00, 11 Re]),([Re 2 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=∞ zz zfs fs （1 分） ∴原式= πi ⎟πi ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 2 2 3 2 3 12 9 8 （1 分） 6．解：∵ m zI = 0)( 映为 wI = 0)( m 设 a,b,c,d 实数 z dc baz w + + = （3 分） ∴ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + =−= dcz bza dcz baz i ww i wI m 2 1 )( 2 1 )( 2 2 || ))(( || ))((2 2 1 dczi dzcbazI dcz dczbazI i m m + ++ = + ++ = 8
n(=) (2分) C2+ az+b 所求的映射 (2分) ∴ad-bc>0, a,b,c,d实数 三、1.解:f(1)227人F()emd(2分)=e+e)4分=cosO, z[fr()(4分)= =-s2(1 (3分) 3.解:原式=e(-1)2e-] e z[t'e'le-s (3分) =e2[(-1)e'] (3分)=e (3分) 2 (3分)= (s-1) 4.解:s3F(s)+3s2F(s)+F(s)= F(S) (4分 s(s3+3s2+3s+1)s(s+1)3s(s+1) e“t21 z-[F(s)=2 S (s+1)3 dt 3分 9
)( || 2 zI dcz bcad m + − = （2 分） ∴所求的映射 dcz baz w + + = （2 分） ∴ bcad >− 0， ,,, dcba 实数 三、1．解： ∫ ∞+ ∞− = ωω π ω tf deF ti )( 2 1 )( （2 分） ( )titi o o ee − ω − ω += 2 1 4 分= t ω o cos 2．解： Z f T τ)]([ （4 分） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = ∫ − − − T ST T ST ST dt s e s te e 0 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − − T ST ST ST e s s Te e 0 2 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− − − = − − − 22 1 1 1 ss e s Te e ST ST ST )1( 1 2 ST ST ST es Tsee − − − − −− = （3 分） 3．解：原式=L[ ]12 )1( − − t ete =e Z 2 ][ eet −St （3 分） = Z （3 分）= Z″ （3 分） s e1− ])[( 2 t − et s e1− ][ t e = ″ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 s e s （3 分） = 3 )1( 2 1 − − s e s （1 分） 4．解： s sFsFssFs 1 )()(3)( 3 2 =++ )133( 1 )( 23 +++ = ssss SF = 3 )1( 1 ss + = 3 )1( 11 + ⋅ ss （4 分） = Z -1 sF )]([ =Z -1 ∗⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s 1 Z -1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 3 )1( 1 s = 2 1 2 te at − ∗ = ∫ − t t dtet0 2 2 1 tt t ettee − − − −−−= 2 2 1 1 （3 分） 9