复变函数与积分变换试题与答案 计算(3分×4) 解答与证明(6分×3) 1.设f(z)=x32+3x2yi-3xy2-y2i,求f(z)
复变函数与积分变换试题与答案 一、计算（3 分×4） 1． 31 i 2 arg + − 2． 7 +− i)1( 3. 6 1 8 4． + i)31ln( 二、解答与证明（6 分×3） 1．设 23 −+= 33)( － 32 iyxyyixxzf ，求 ′ zf )( 1
2.证明:若∫(z),∫(z)均在区域D内解析,则f(z)在D内为常数。 3.已知:u=2 e sin y,求解析函数f(x)=u+p且f(0)=0 计算:(5分×5) 1(2=+1(2-2) d
2．证明：若 zfzf )(),( 均在区域 D 内解析，则 在zf )( D 内为常数。 3．已知： = x sin2 yeu ，求解析函数 )( = + ivuzf 且 f = 0)0( 三、计算：（5 分×5） 1．∫ =1 −+ )2)(12( z zz dz = 2． = + ∫ =2 2 z z 2 dz 2
sln二 In(z+1 dz 四、(10分)将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数 ∫(=)= (141K+∞,0<|z-1|1)
3． = ∫ = dz z z z 2 4 sin 4． dz z z z = + ∫ =1 )1ln( 5． = −− ∫ =4 5 )3)(1( z zz dz 四、（10 分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数 )1( 1 )( zz zf − = （1<|z|<+∞，0<|z-1|<1） 3
五、(6分)求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数,使f(1)=0, arg f(i= 六、(5分×2) e-pt≥0 已知:f(t)=0 (β>0), LOOF B+hy,,(t)=t, F U(F 2, tk 1.F[f(w+5) F[f(1)*f2(1)
五、（6 分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数，使 if = 0)( ， 2 )(arg π ′ if = . 六、（5 分×2） 已知： （ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ = β− 00 0 )(1 t＜ te tf t β＞0）， F iw tf +β 1 )]([ 1 ＝ ， ， 2 = ttf ||)( F 2 2 2 )]([ w tf ＝− ，求 1．F －1 1 wf + )]5([ ＝ 2．F 1 ∗ 2 tftf )]()([ ＝ 4
七、解答:(14分) 2.L 3.y"+y’=1,y(0)=y’(0)=0 5
七、解答：（14 分） 1．L u t− )1( + δ t)( ]5[ = 2. L =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + 54 2 2 1 SS － S 3. ′′ + yy ′ = 1， = yy ′ = 0)0()0( 5
F L [cost]=- L I s2+1 参考答案 1.解:原式=arg (1分)=arg (1分) (1分) 2.解:原式(1分)=e-(1分)=e (1分)=-8(1+i 3.解:原式(2分)=(82m)5(1分)=√2e3
* L 1 ][cos 2 + = s s t L s 1 ]1[ = 参考答案 一、1．解：原式= （ 分） （ 分） （1分） 3 2 1 2 3 2 1 arg1 4 )31(2 arg π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += −− i 2．解：原式(1 分) 1 )1(81 2 4 3 2ln7 )1ln(7 2 1 e e i iki i = = +−= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+π⋅+ +− （ 分） （ 分） 3．解：原式（2 分）= i k ik e e 6 3 1 2 21)8( π π （ 分）= 6
4.解:原式(3分)=ln2+i(2kr+) (2分)=3x2-3y2,(2分)=6xy f(=)(2分)=3x2-3y2+6x=3(x+y)2=3z2 2.证:∵∫(z)在D内解析,∫(=)在D内解析,f(=)=u+i=u-iv (2分) ax ayay a ax ayay ax av au av 0 (2分) ay ax ay ∴lFcv=c2(c1,c2为实数)∴fz)=l+iv=C(C∈复数)(2分) (1分)∴V=-2e'cosy+h(x)(1分) v =-2e' cos y+h'(x)= coS) (1分)∴h(x)=c f(=)=2e sin y +i(2e cos y+c)=-2ie(cos y +isin y)+ci (1分 ∵f(0)=2×0+(-2+c) =2 (1分) ∴f()=2i(1-e) (1分) 三、1.解:原式(3分)=2 TiRes (3分) (2=+1)(二 d 原式 2(2-2)d(3分) √2|+Res (4分 2+2
4．解：原式（3 分）= ) 3 2(2ln π ki π ++ 二、1．解： ∵ 2 2 332 yx x u −= ∂ ∂ （ 分） , xy x v = 62 ∂ ∂ （ 分） ∴ 2 2 22 ′ zf （ 分） =+=+−= 3)(36332)( ziyxxyiyx 2.证：∵ zf )( 在 D 内解析， zf )( 在 D 内解析， )( −=+= ivuivuzf ∴ y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ ， y v x u ∂ ∂ −= ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = ∂ ∂ （2 分） = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u y v x u （2 分） ∴u=c1 v=c2 (c1,c2为实数)∴f(z)=u+iv=C (C∈复数) （2 分） 3．解：∵ y u ye x u x ∂ ∂ = = ∂ ∂ sin2 （1 分）∴ xhyev )(cos2 （1 分） x +−= ∴ ye y u xhyev x x x )(cos2 −= cos2 ∂ ∂ ′ +−= ′ −= （1 分）∴ )( = cxh ciyiyiecyeiyezf x x x −=+−+= )sin(cos2)cos2(sin2)( ++ （1 分） ∵ f ×= + − + )2(02)0( ic ∴c = 2 （1 分） ∴ )1(2)( （1 分） z −= eizf 三、1.解：原式（3 分）= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −+ ⋅π 2 1 , )2)(12( 1 Re2 zz si （3 分） 原式 ∫ = π −= + − = 1 5 2 3( 2 1 )2(2 Z i dz z z dz 分） (3 分) 2．解： ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2, 2 1 Re2, 2 1 Re2 2 2 z s z π si （4 分） 7
=nis 2√22√2 (2分) 3.解:原式(2分)=5(im-)=(2分)a(-cos)=(2分)-m 4.解:∵z=0为(+1) 的可去奇点(4分)∴原式=0 5.原式=2mRe (2分) (二3-1)(二-3) i Re (1分) =(2分)2πiRe 0 (1分)=0 、解:①当1<=k+∞时 (1分) 4分)1S1=(分)- (1 =1…()=2m2(2分) ②当04-1k1时 (1分) (2分)=∑(-1)"(-1)”∴f(2)=∑(-1)"(-1)(2分) 2 六、解:1.解:F[F(+5)”()(2分)=/32 6=丌 (1分)f(二) (1分 0(2分) 0t<0 (1分) 2.解:F[f()*f2(m) (5分) +0)
0 22 1 22 1 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = πi − （2 分） 3．解：原式（2 分）= 3 2)cos( 3 2)(sin !3 3 0 0 i z i z i z z π π π ′′′ = − −= = = （ 分） （ 分） 4．解：∵ z = 0为 z z + )1ln( 的可去奇点 （4 分） ∴原式=0 5．原式= ∑= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 6 1 5 , )3)(1( 1 Re2 k k z zz π si （2 分） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ −− −= , )3)(1( 1 Re2 5 zz π si （1 分） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ −− = π 0, 1 )3 1 )(1 1 ( 1 Re22( 2 5 z zz 分） si （1 分）=0 四、解：①当 < z ||1 < +∞ 时 ∑ ∑ ∞ = ∞ = + −= − = − −= − 0 0 1 1 1 11 1 ) 1 1( 1 1( 1 1 n n n n zz z z z z 分） （ 分） （ 分） ∴ ∑ ∞ = + = 0 2 1 )( n n z zf （2 分） ②当 z −< <1|1|0 时 ∑ +∞ = −−= −+ = 0 )1()1(2 11 1 1 1 n n n z z z （ 分） （ 分） ∴ ∑ （2分） +∞ = + − −−= 1 1 1 )1()1()( n n n zf z 五、解：设 iz iz e iz iz zf ei i + − = − − = （ 分） θ θ 2)( ∵ iz i ezf i + ′ = 2 )( （1 分） ) 2 ( 2 1 )( π θ − ′ = i eif （1 分） ∴θ = π （1 分） iz iz zf + − )( −= （1 分） 六、解：1.解：F ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = +− − − （ 分） （ 分） 分） ） 100 20 2()()]5([ 5( 1 5 1 1 t te tfeF t t β ω 2.解：F )](*)([ 1 2 tftf )( 2 2 ω+βω−= i （5 分） 8
七、1.解:原式 (2+1分) 2.解:原式 (s+2)2+1 (1分) =(2分)e-2(s+2)2+1=(1分) e cos t 解:z["]+z[y" (1分)s2Y(s)+sY(s) (2分) y(s)= 1分)∴y() (3分) (s+1) 或y(1)(3分)=Re s2(s+1) (:)-+ 9
七、1．解：原式= 5 5 1 +⋅ − s e （2+1 分） 2．解：原式=Z－1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + 1)2( 2 2 s s （1 分） ＝（2 分） Z t e −2 －1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + 1)2( 2 2 s s ＝（1 分） cost t e −2 3.解：Z y′′][ ＋Z s y 1 ′][ = （1 分） s ssYsYs 1 )()( 2 =+ （2 分） ∴ 1 111 )1( 1 )( 2 2 + +−= ++ = sssss sy （1 分）∴ t etty − = −1)( + （3分） 或 1 2 0 2 1 , )1( Re3)( −= = + ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = s ts s st s e s e k ss e ty s ts （ 分） （3 分） = t et − −1+ （1 分） 9