复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题:(每题3分) 1.-1-√3i的三角表达形式 指数表达形式: 几何表达形式: 2.(-3) 3.设M=Mx5/()ec,L为曲线C的长度,则[/()+ 4.级数1+z+x2+…+z"+…的和函数的解析域是_ 5.分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各 是 二、判断正确与错误(画对错号,每题3分) 1.因为| sinks1,所以在复平面上sin有界。 2、若函数∫(=)在二处解析,则∫o(x)也在=解析。 3.如果(xy),v(xy)的偏导数存在,那么f)=uHi可导。 4.在x处可导的函数,一定可以在z的邻域内展开成罗朗级数。 5.解析函数构成的保形映照具有保圆性
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题：（每题 3 分） 1. −− i31 的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2． =− 2i ( )3 ； 3. 设M = Max { |)(| ∈Czzf }, L 为曲线 的长度，则 C ≤ ∫ zzf C d)( . 4．级数 的和函数的解析域是 2 1 n ++ + + + zz z L L 。 5. 分式线性函数、指数函数、 幂函数的映照特点各 是 。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分） 1．因为| sin | 1 z ≤ ，所以在复平面上sin z有界。 （ ） 2、若函数 在( )zf z0处解析，则 也在 解析。 n)( zf )( z0 （ ） 3．如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么f(z)=u+iv可导。 （ ） 4．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 （ ） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ）
三、解答题(每题8分) 1.设f(x)=xy2+ix2y,则f()在何处可导?何处解析? 2.已知∫(z)的虚部为v(x,y) 求解析函数 f(=)=l+i且f(O)=0 3求积分1=,C为沿单位圆(=的逆时针一周的曲线
三、解答题（每题 8 分） 1．设 2 2 f () i z xy x = + y ，则 f ( )z 在何处可导？何处解析？ 2 ．已知 f （ z ）的虚部为 2 2 2 1 2 1 ),( +−= yxyxv ，求解析函数 )( += 且fivuzf = 0)0( . 3.求积分 , C I = zdz ∫ C 为沿单位圆(| z | 1) = 的逆时针一周的曲线。 2
4求1x=-5,其中C为=2 5求币d=,其中C为==2 6.把函数 在1<k2内展开成罗朗级数 (二2+1)(z-2)
4.求 sin d ( 1) C z z z z − ∫ ，其中C 为| | z = 2。 5.求 e d cos z C z z ∫ ，其中C 为| | z = 2。 6．把函数 )2)(1( 1 2 zz −+ 在 < z < 2||1 内展开成罗朗级数。 3
7.指出f(x)=5-52在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点 处的留数。 8.求将单位圆|z|<1内保形映照到单位圆|w|<1内,且满足 (1)=0,agf()=z的分式线性映照。 四、利用拉氏变换求解微分方程(6分) y"+4y+3y=e (提示:Le'] y(0)=y(0)=1
7．指出 6 sin )( z zz zf − = 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点 处的留数。 8.求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足 0) 2 1 f ( = ， 2 ) 2 1 (arg π f ′ = 的分式线性映照。 四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分） （提示： ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 1 [ ] 1 t L e s − = + ） 4
试题答案 填空题:(每题3分) 2丌 2丌 1.-1-√3i的三角表达形式:2[cos(-2+2k)+isin( +2k丌 指数表达形式:2e ckz )i 2 几何表达形式:|-1-3i|=2,Arg(-1-v3i)=(-2+2kz) 2.(-3 设M=Mx/(|=∈C),L为曲线C的长度,则[e)sMD 4.级数1+z+2+…+2”+…的和函数的解析域是|zk1 5.分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是:保圆性、保对称性、带形域到角形 域:角带形域到角形域 二、判断正确与错误(画对错号,每题3分) 1.因为sinz1,所以在复平面上Sinz有界。 (×) 2、若函数f()在二处解析,则f()也在二0解析 (√) 3.如果(xy),v(xy)的偏导数存在,那么=)=+i可导。 (×) 4.在二。处可导的函数,一定可以在二的邻域内展开成罗朗级数。(×) 5.解析函数构成的保形映照具有保圆性 (×) 三、解答题(每题8分) 1.设f()=xy2+ixy,则f(x)在何处可导?何处解析? l=xy2,v=x2y处处可微, 解 ou=y, ay v C-R方程仅在(0,0)处成立, ∫(-)在(0,0)处可导,处处不解析 2.已知∫(z)的虚部为v(x,y)=-1x2+y2,求解析函数/()=u+m 且f(0)=0 av. y, oy u=xv+c 解::f(0)=0 在(0,0)处可导,处处不解析 f∫(=)=x 3求积分|=,C为沿单位圆(=1的逆时针一周的曲线
试题答案 一、填空题：（每题 3 分） 1. −− i31 的三角表达形式： 2 2 2[cos( 2 ) sin( 2 ) 3 3 ki k ] π π −+ + −+ π π ; 指数表达形式： 2 ( 2) 3 2 k i e π − + π ； 几何表达形式：| 1 3i| 2, − − = 2 ( 1 3i) ( 2 ) 3 Arg k π −− =− + π . 2． )3( 2i =− e2 2 2ln3 π π − −+ k i ； 3. 设 M = Max { } |)(| ∈Czzf , L 为曲线 的长度，则 C ( )d C f z z ML ≤ ∫ . 4．级数 的和函数的解析域是| | 2 1 n ++ + + + zz z L L z <1。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是：保圆性、保对称性、；带形域到角形 域；角带形域到角形域。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分） 1．因为| sin | 1 z ≤ ，所以在复平面上sin z 有界。 （×） 2、若函数 在 处解析，则 也在 解析。 ( )zf z0 )( （√） )( zf n 0 z 3．如果 u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。 （×） 4．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 （×） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （×） 三、解答题（每题 8 分） 1．设 2 2 f () i z xy x = + y ，则 f ( )z 在何处可导？何处解析？ 解： 2 2 2 2 , , , 2, 2, (0,0) , ( ) (0,0) u xy v x y uvu v y x xy xyy x C R f z = = ∂ ∂∂ ∂ === = ∂∂∂ ∂ xy ∴ − Q 处处可微, 方程仅在 处成立 在 处可导,处处不解析. 2．已知 f（z）的虚部为 2 2 2 1 2 1 ),( +−= yxyxv ，求解析函数 f ( )z u iv = + , 且f (0) 0= 解： 2 2 , , (0) 0 (0,0) 1 ( ) ( ). 2 uv u v y x xy y x u xy c f f z xy i x y ∂∂ ∂ ∂ = = =− = ∂∂ ∂ ∂ ∴ = + = ∴ =− − Q Q 在 处可导,处处不解析. 3.求积分 , C I = zdz ∫ C 为沿单位圆(| z | 1) = 的逆时针一周的曲线。 5
z=e"(0≤0≤2x,dz=ie"dO,则 1=e-b3分)=2ri 4求f sin二 dz,其中C为z|=2 二(二-1) 2 二(=-1) sln二 解 2riRe[ 01+Re s Sll (二-1) 二(二-1) =2x12-1 sIn sln二 5求f。0d=,其中C为|=2 c cOS2 cos二 =tIrE s[ I+Resl 解 ri(e 把函数 (二2+1)(z-2 在1<k2内展开成罗朗级数 解 521_三 ) 7.指出f(x)==5在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点 处的留数
解：设 2 0 (0 2 ), , (3 ) 2 i i i i z e dz ie d I e ie d i θ θ π θ θ θπ θ θ π − = ≤≤ = = = ∫ 则 分 4.求 sin d ( 1) C z z z z − ∫ ，其中C 为| | z = 2。 解： 0 1 sin d ( 1) sin sin 2 {Re [ ,0] Re [ ,1]} ( 1) ( 1) sin sin 2{ | |} 21 21 2 sin1 C z z z z z z z z i s s z z z z z z i z z i π π π = = − = + − − = + − − = ∫ 5.求 e d cos z C z z ∫ ，其中C 为| | z = 2。 解： 2 2 2 2 e d cos e e 2 {Re [ , ] Re [ , ]} cos 2 cos 2 e e 2{ } 1 1 2 (e e ) z C z z z z is s z z i i π π π π π π π π π − − = + = + − = − ∫ − 6．把函数 )2)(1( 1 2 zz −+ 在 < z < 2||1 内展开成罗朗级数。 解： 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 1 00 0 1 ( 1)( 2) 11 2 [ ] 52 1 1 11 1 [ ( 2) ] 5 2 1 1 (1 ) 2 1 1 ( 2) 1 [ ( ) ( 1) ] 52 2 1 1 [ (1) (1) 5 2 n n n n n n n n nnn nn n z z z z z z z z z z z z z z z z ∞ ∞ = = ∞∞ ∞ +++ == = + − + = − − + =− −+ − + + =− − − =− + − + − ∑ ∑ ∑∑ ∑ 2 2 2 ] 7．指出 6 sin ( ) z f z z − = z 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点 处的留数。 6
f(x)=5出的孤立奇点=0 f(=)=-6( 解 ∴z=0为f(=)的三阶极点 Res[f(=),0]= 8.求将单位圆|z|<1内保形映照到单位圆|w|<1内,且满足 ()=0,agr()=z的分式线性映照。 解:设分式线性映照为 +-(2 四、利用拉氏变换求解微分方程(6分) (提示:Le']= (0)=y(0)=1 解:方程两边同时施加拉普拉斯变换,并代入初始条件得 S2Y(s)-Sy(0)-y(0)+4[SY(s)-y(0]+3(s) (S24S+3)Y(s) s+6s+6 Y(s (24S+3)(s+1) y(1)=-te
解： 6 357 6 sin ( ) 0, 1 () ( ) 3! 5! 7! 0 () 1 Re [ ( ),0] . 5! z z f z z z zzz fz z z z z fz sf z − = = −+ − + − ∴ =− Q L 的孤立奇点 = = 为 的三阶极点, 8.求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足 0) 2 1 f ( = ， 2 ) 2 1 (arg π f ′ = 的分式线性映照。 解：设分式线性映照为 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 11 1 1 () 4 22 2 | | 1 3 (1 ) 2 2 2 1 2 i i i z z z w e z z z w e e z z w i z θ θ θ π θ = = − = − −+ − ′ = = − ∴ = − ∴ = − Q 四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分） （提示： ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 1 [ ] 1 t L e s − = + ） 解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得 2 2 2 2 3 1 ( ) (0) (0) 4[ ( ) (0)] 3 ( ) , 1 1 ( 4 3) ( ) 5, 1 6 6 ( ) , ( 4 3)( 1) 1 73 ( ) 2 44 tt t S Y s Sy y SY s y Y s s S S Ys s s s s Y s SS s y t te e e −−− − −+ −+ = ′ + ∴ + = ++ + + + = + + ∴ = +− 7