程数学(复变与积分变换B集)目录 工程数学(复变与积分变换B集)目录 B1导数(第二章) 2.1复变函数的极限、连续性 223 22导数 B2积分(第三章) 3.1积分的概念、性质和计算 3.2柯西定理及其推广 B3级数(第四章) 4.1复数项级数 42幂级数 B4留数(第五章) 51孤立奇点的分类 52留数及留数定理(1) B5保形映照(第六章 61保形映照的定义 13 62分式线性函数及其映照性 63指数函数与幂函数所确定的映照… 错误!未定义书签 B.6拉普拉斯变换(第八章 8.1拉普拉斯变换、逆变换的概念. 82拉普拉斯变换的性质 83拉普拉斯变换的应用
工程数学（复变与积分变换 B 集）目录 1 工程数学（复变与积分变换 B 集）目录 B.1 导数（第二章）..........................................................................................................................2 2.1 复变函数的极限、连续性.........................................................................................................2 2.2 导数 ............................................................................................................................................3 B.2 积分（第三章）..........................................................................................................................4 3.1 积分的概念、性质和计算.........................................................................................................4 3.2 柯西定理及其推广.....................................................................................................................5 B.3 级数（第四章）..........................................................................................................................6 4.1 复数项级数 ................................................................................................................................6 4.2 幂级数 ........................................................................................................................................8 B.4 留数（第五章）........................................................................................................................10 5.1 孤立奇点的分类.......................................................................................................................10 5.2 留数及留数定理（1）.............................................................................................................12 B.5 保形映照（第六章）................................................................................................................13 6.1 保形映照的定义.......................................................................................................................13 6.2 分式线性函数及其映照性质 ...................................................................................................14 6.3 指数函数与幂函数所确定的映照 ...........................................................错误！未定义书签。 B.6 拉普拉斯变换（第八章）........................................................................................................16 8.1 拉普拉斯变换、逆变换的概念...............................................................................................16 8.2 拉普拉斯变换的性质...............................................................................................................18 8.3 拉普拉斯变换的应用...............................................................................................................20
工程数学习题集(复变函数与积分变换B集) B1导数(第二章) 21复变函数的极限、连续性 1.判断题 (1)对数函数Lnz在整个复平面上处处连续 (2)cosz在整个复平面上连续 (3)=(a不等于整数)的每一个分支在除去原点的复平面上连续.() 2.选择题 (1)函数f()=(xy)+mv(x,y)在点=x+处连续的充要条件是() (A)u(x,y)在(x2,y)处连续 B)v(x,y)在(xny)处连续 ()a(x,y)和v(x,y)在(x,y)处连续 ①)a(x,y)+v(x,y)在(x,y)处连续 3.计算 (1)lim(=+ 2i Re(=) (2)lim →l (Q(=0)≠0,P(-)、Q()为多项式)
2 工程数学习题集（复变函数与积分变换 B 集） B.1 导数（第二章） 2.1 复变函数的极限、连续性 1. 判断题 (1) 对数函数 Ln z 在整个复平面上处处连续. （ ） (2) cosz 在整个复平面上连续. （ ） (3) z α （α 不等于整数）的每一个分支在除去原点的复平面上连续. （ ） 2. 选择题 (1)函数 f ( )z u x y iv x y = + ( , , ) ( )在点 0 0 z x iy = + 0 处连续的充要条件是( ) (A) u xy ( ) , 在( x0 0 , y ) 处连续 (B) vxy ( ) , 在( x0 0 , y ) 处连续 (C) u xy ( ) , 和vxy ( , ) 在( x0 0 , y ) 处连续 (D) u xy vxy ( ) , , + ( ) 在( x0 0 , y ) 处连续 3. 计算 (1) ( ( ) 1 lim 2 Re z i z i z ) → − + (2) 3 1 limz i iz → z i − + (3) ( ) 0 ( ) limz z P z → Q z ( 0, Qz Pz Qz ( 0 ) ≠ ( )、 ( ) 为多项式）
B3级数(笫四章) 22导数 5.选择题 (1)函数w=f(-)=+在点二处可导的充要条件是( (A)u,v在点=0处有偏导数 (B)a4,v在点处满足柯西-黎曼方程 (C)a,v在点〓0处可微,且满足柯西-黎曼方程 (D)a,v在点二处可微 6.判断题 (1)如果∫(-)在二连续,那么f(0)存在 (2)如果u(x,y),v(x,y)的偏导数存在,那么∫(=)=+可导.( (3)函数f(-)=在除z=0以外的复平面上处处不可导 (4)设f(=)=sin2,则f(二)=2c0s2 7讨论下例函数在何处可导,并在可导处求出f"(=) f(=) (2)f()=Im(=) (3)f(=)=x2-y (4)f(=)
B.3 级数（第四章） 3 2.2 导数 5. 选择题 (1) 函数 w f z u iv = =+ ( ) 在点 处可导的充要条件是( ) 0 z (A) u v, 在点 处有偏导数 0 z (B) u v, 在点 处满足柯西-黎曼方程 0 z (C) u v, 在点 处可微,且满足柯西-黎曼方程 0 z (D) u v, 在点 处可微 0 z 6. 判断题 (1) 如果 f ( )z 在 连续，那么 存在. z0 ′ zf 0 )( （ ） (2) 如果u xy ( ) , , vxy ( , ) 的偏导数存在，那么 f (z ui ) = + v 可导. （ ） (3) 函数 ( ) 2 f z z = 在除 z = 0以外的复平面上处处不可导. （ ） (4) 设 f ( )z z = sin 2 ，则 f ′(z) = 2cos2z . （ ） 7.讨论下例函数在何处可导，并在可导处求出 f ′(z) (1) ( ) 1 2 1 z f z z − = + (2) f ( ) Im zz z = ( ) (3) ( ) 2 f z xi = − y (4) ( ) 1 f z z =
工程数学习题集(复变函数与积分变换B集) B2积分(第三章 31积分的概念、性质和计算 1.填空题 (1)|sin(z+2)dz= (2)若C以为圆r为半径的正向圆周,则 (3)设Ⅰ 则当C为沿=2上半圆周从0到z时,1= 当C为沿=2下半圆周从兀到2时,= 当C为沿=2上半圆周从0到2时,= 2.选择题 ()JRe)=(),其中C是沿y=x从0到1+的直线段 1+i (A)1 计算「二2d,其中C为(1)从0到3+i的直线段;(2)从0沿实轴到3再到 3+i的直线段;(3)从0沿虚轴到i再到3+i的直线段
4 工程数学习题集（复变函数与积分变换 B 集） B.2 积分（第三章） 3.1 积分的概念、性质和计算 1. 填空题 + ∫ (1) sin( 2) z dz = r 为半径的正向圆周，则 0 0 ( )n zz r dz z z − = − ∫ (2) 若C 以 为圆 = 0 z (3) 设 C z 2 dz z I + =∫ ， 则当 为沿 C z = 2上半圆周从 0 到π 时， I= 当 为沿 C z = 2下半圆周从π 到 2π 时，I= 当 为沿 C z = 2上半圆周从 0 到2π 时，I= 2. 选择题 (1) Re( ) c z dz ∫ =( ),其中 C 是沿 y x = 从0到1+i 的直线段. (A) 1+i (B) 1 2 + i (C) 1 2 + i (D) 0 3. 计算 , 其中C 为(1) 从 0 到3 2 ∫C dzz + i 的直线段; (2) 从0 沿实轴到3再到 3+ i 的直线段; (3) 从 0 沿虚轴到 再到 i 3+ i 的直线段
32柯西定理及其推广 4.选择题 (1)设函数f(二)是复平面上的解析函数,C是复平面上的任意一条简单闭曲线,则 f(=) de=0 在下例()的条件下成立,其中f(=0)≠0 A)二0在C内 (B)二0在C外 (C)二0在C上 ①D)均不对 (2)函数∫(z)在单连通域B内解析是∫(=)沿B内任一闭曲线C的积分 ()=0的( (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 ①D)既非充分也非必要条件 5.计算 (1) (2)f(二)= coS二 (3)f(二)= (4)f(=)= z2+2=+2
B.3 级数（第四章） 5 3.2 柯西定理及其推广 4. 选择题 (1) 设函数 zf )( 是复平面上的解析函数,C 是复平面上的任意一条简单闭曲线,则 0 ( ) 0 c f z dz z z = − ∫ 在下例（ ）的条件下成立，其中 0 f z() 0 ≠ . (A) 在 C 内 (B) 在 C 外 0 z 0 z (C) 在 C 上 (D) 均不对 0 z (2) 函 数 zf )( 在单连通域 B 内解析是 zf )( 沿 B 内任一闭曲线 的积分 C ∫ dzzf = 0)( C 的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 5. 计算 (1) ∫ =2|| −2 1 z dz zz 1 (2) ( ) cos f z z = 2 2 1 (3) ( ) (4) ( ) 3 2 2 z f z f z z z z = = − + +
工程数学习题集(复变函数与积分变换B集) B3级数(第四章 41复数项级数 1.选择题 (1)设zn=an+ib,则复数列zn收敛的充要条件是() (A){an}收敛 (B){bn}收敛 (C){an},{bn}同时收敛 (D)以上均不对 (2)若级数∑=n=∑(an+ib)绝对收敛,则下列各项不正确的是( (A)∑|=n|收敛 (B)∑|an|和∑|bn|都收敛 (C)∑an和∑bn均不一定收敛 (D)任意重排各项次序所得到的级数也绝对收敛,且其和不变 2.根据复数列收敛的充要条件,判定下列数列是否收敛,如果收敛求出它们的极 2+i (2)z=-e
6 工程数学习题集（复变函数与积分变换 B 集） B.3 级数（第四章） 4.1 复数项级数 1. 选择题 (1) 设 , nnn = + ibaz 则复数列 收敛的充要条件是（ ） n z （A） }{ 收敛 （B） 收敛 an }b{ n （C） }b{}{ 同时收敛 （D）以上均不对 an ， n (2)若级数 )( 绝对收敛，则下列各项不正确的是( ) 0 0 n n n n n ∑∑ += ibaz ∞ = ∞ = （A） || 收敛 0 ∑ ∞ n= n z （B） || 和 都收敛 0 ∑ ∞ n= n a || 0 ∑ ∞ n= n b （C）∑ 和 均不一定收敛 ∞ n=0 an ∑ ∞ n=0 bn （D） 任意重排各项次序所得到的级数也绝对收敛，且其和不变 2. 根据复数列收敛的充要条件，判定下列数列是否收敛，如果收敛求出它们的极 限. (1) 2 )1( 2 n iz n n − +−= (2) 2 1 in n e n z − π =
B.3级数(第 3.选择题 (1)下列级数中绝对收敛的是() (3+4i)” 1+3i (B) (C) ∑ (D) 2)下列级数中,条件收敛的级数是() (A) (1+ (B) 2 Inn (D) (8i) n 4.判断下列级数的敛散性 (1) (6+51) 3+5)
B.3 级数（第四章） 7 3. 选择题 (1) 下列级数中绝对收敛的是（ ） （A）∑ ∞ = + 1 ! )43( n n n i （B） n n i ∑ ∞ = + 1 ) 2 31( （C）∑ ∞ n=1 n n i （D）∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n i (2) 下列级数中，条件收敛的级数是（ ） （A）∑ ∞ = + 1 )1( 1 n n i n （B）∑ ∞ =2 n ln n n i （C） ∑ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − 1 2 )1( n n n i n （D）∑ ∞ =1 ! )8( n n n i 4. 判断下列级数的敛散性 (1) ∑ ∞ = + 0 8 )56( n n n i (2) ∑ ∞ = + 0 ! )53( n n n i (3) ) 1 1ln( 1 n 0 i n n ∑ + ∞ =
工程数学习题集(复变函数与积分变换B集) 42幂级数 5.判断题 (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛 (3)每一个幂级数收敛于一个解析函数 (4)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点 (5)若函数f(=)在二0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 6.选择题 (1)若级数 在z=3发散,则它必在( (A)z=-1收敛 (B) 发散 (C)z=2收敛 (D)以上全不正确 (2)幂级数∑的收敛半径是() (A)∞ (D) 7.求下列幂级数的收敛半径 (3)y(-5)
8 工程数学习题集（复变函数与积分变换 B 集） 4.2 幂级数 5. 判断题 (1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. （ ） (2) 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛. （ ） (3) 每一个幂级数收敛于一个解析函数. （ ） (4) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. （ ） (5) 若函数 zf )( 在 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 0 z ( ) 6. 选择题 (1) 若级数 n n n za )1( 0 ∑ − ∞ = 在 发散，则它必在（ z = 3 ） （A） z −= 1收敛 （B） 2 3 z −= 发散 （C） z = 2收敛 （D）以上全不正确 (2)幂级数 3 0 2 n n n z n ∞ = ∑ 的收敛半径是（ ） （A）∞ （B）2 （C）0 （D） 2 1 7. 求下列幂级数的收敛半径. (1) n n n z n ∑ ∞ =0 2 (2) n n n z n n ∑ ∞ =0 ! (3) ∑ ∞ = − 1 )5( n n n z (4) ∑ ∞ = + 0 + 12 n 12 n n z
B.3级数(第 8.填空题 (1)设幂级数∑an(-2)在二=4收敛而在二=2+2发散 则其收敛半径R= ,该幂级数的收敛域为 (3)设幂级数∑cnz"的收敛半径R,那么幂级数 ∑(2"-1)cn 的收敛半径R= 9.讨论幂级数∑a1(二-2)”能否在=0收敛而在=3发散?为什么 0.讨论级数∑(=1-")的收敛性
B.3 级数（第四章） 9 8.填空题 (1)设幂级数 在 收敛而在 n n n za )2( 0 ∑ − ∞ = z = 4 = + 22 iz 发散， 则其收敛半径 R = ，该幂级数的收敛域为 (3) 设幂级数 的收敛半径 n n n ∑ zc ∞ =0 R ,那么幂级数 n n n n ∑ zc ∞ = − 0 )12( 的收敛半径 R = . 9. 讨论幂级数 n 能否在 n n za )2( 0 ∑ − ∞ = z = 0收敛而在 z = 3 发散？为什么？ 10. 讨论级数 )( 的收敛性. 0 1 n n n ∑ zz ∞ = + −
工程数学习题集(复变函数与积分变换B集) B4留数(第五章) 5.1孤立奇点的分类 1.选择题 (1)设函数f() (二-1)( 则z=1为f(=)的( (A)二阶零点 (B)二阶极点 (C)本性奇点 ①D)可去奇点 (2)设函数∫(-)= 则二=0为f(=)的( (A)本性奇点 (B)一阶极点 (C)可去奇点 D)一阶零点 3)=0为f()的m阶零点 则二0为一一的m阶极点的( (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 ①D)均不对 找出下例函数的孤立奇点并加以分类,若为极点,指出其阶数 (4)
10 工程数学习题集（复变函数与积分变换 B 集） B.4 留数（第五章） 5.1 孤立奇点的分类 1. 选择题 (1) 设函数 2 1 ( ) ( 1) ( 2) f z z z = − − 则 为 z = 1 f ( )z 的（ ） （A）二阶零点 (B)二阶极点 (C)本性奇点 (D)可去奇点 (2) 设函数 sin ( ) z f z z = 则 为 z = 0 f ( )z 的（ ） （A）本性奇点 (B) 一阶极点 (C) 可去奇点 (D) 一阶零点 (3) z0 为 f ( )z 的 m 阶零点, 则 为0 z 1 f ( )z 的 阶极点的（ ） m （A）充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 均不对 2. 找出下例函数的孤立奇点并加以分类，若为极点，指出其阶数. (1) 7 2 2 ( 1)(1 ) z z − − z (2) 3 1 z e z − (3) 2 1 z cos z (4) 1 sin z ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠