第3章积分 3.1复函数积分的概念、性质、计算 3.2柯西定理及其推广 3.3柯西积分公式 3.4解析函数的导数 习题课 3.1复变函数积分的概念、性质、计算 1不定积分 2定积分 3定积分的性质 4积分」f()d=值的计算 不定积分 (1)原函数 定义3.1若在区域D内,F()的导函数为f(=),即对任 ∈D有 F"(=)=f(=) 则称F(z)为∫(=)在区域D内的原函数 (2)不定积分
第 3 章 积 分 3.1 复函数积分的概念、性质、计算 3.2 柯西定理及其推广 3.3 柯西积分公式 3.4 解析函数的导数 习题课 3.1 复变函数积分的概念、性质、计算 1 不定积分 2 定积分 3 定积分的性质 4 积分 zzf 值的计算 C d)( ∫ 1 不定积分 （1） 原函数 定义 3.1 若在区域 D 内, F z)( 的导函数为 f z)( ,即对任一 z ∈ D有 F z = f z)()(' 则称 F z)( 为 f z)( 在区域D内的原函数. （2）不定积分
定义3.2区域D内∫(=)的带有任意常数的原函数F(=)+C称 为f(-)在D内的不定积分,记为∫f()d=,即 ∫f(=)dz=F(z)+c 这里称∫()为被积函数,z为积分变量 2定积分 设∫(=)为定义在以二0为起点,二为终点的简单曲线C上的连 续函数,把曲线用分点20,1,22,…,En-1,En=2分成n个弧段,这 里二k(k=0,1,…,n)是曲线C上按照从二0到z的次序排列的,k 是二k-1到二k的弧上的任一点如图3.1).如果不论对C的分法和对5k 的取法,当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,和式 ∫(5k)( (此处有图3.1) k=1 的极限唯一存在,则称此极限为函数f(=)沿曲线C从二0到二的积分, 记作f()d=,即 SCf()dz=lim 2/(k)(Ek-=k-1) k=1 3定积分的性质: )0()d=k!f()d=, f()±()dz=f()dz±g()dz 3/()d==f()d=+[f()dz+…+[。f()d 其中C=C1+C2+…+Cn
定义 3.2 区域D内 f z)( 的带有任意常数的原函数 F z)( + c称 为 f z)( 在D内的不定积分,记为∫ d)( zzf ,即 ∫ d)( zzf = F z)( + c 这里称 f z)( 为被积函数, z 为积分变量. 2 定积分 设 f z)( 为定义在以 为起点, 0z z 为终点的简单曲线C 上的连 续函数,把曲线用分点 , , ,…, 0z 1z 2z n−1 z , zzn = 分成 个弧段,这 里 n kz n) , ,1 ,0( k = L 是曲线C 上按照从 z0 到 z 的次序排列的, ξ k 是 k −1 z 到 k z 的弧上的任一点(如图 3.1).如果不论对C 的分法和对ξ k 的取法,当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值λ 趋于零时,和式 ))(( 1 1 − = ∑ − kkk n k ξ zzf (此处有图 3.1) 的极限唯一存在,则称此极限为函数 f z)( 沿曲线C 从 到0z z 的积分, 记作 zzf ,即 C d)( ∫ zzf C d)( ∫ 1))((lim 1 0 − → = = ∑ − kkk n k ξ zzf λ . 3 定积分的性质: (1) zzfkzzkf , C C d)(d)( ∫ = ∫ (2) zzgzzfzzgzf C C C d)(d)(d)]()([ ∫ ± = ± ∫∫ , (3) zzfzzfzzfzzf C C C Cn d)(d)(d)( d)( 1 2 = + ∫∫∫ +L+ ∫ , 其中C= + +…+ . C1 C2 Cn
()」f()d==-[ef()d= SC/(e)d=sML 其中M=Max{f()∈C},L为曲线C的长度 d 例31试证[252.C是连接1到2+的直线段(图.2) 此处有图3.2 4积分」f()dz值的计算 由∫(二)沿C积分的定义易推得:若C为 (t)=x(1)+1y( ≤t≤B 分段光滑,∫(z)=l(x,y)+iw(x,y)在C上分段连续,那么 Scf(dz=jcudx-vdytilcvdx+udy,(3. 1) f(a)d2=f[=(]'(dt 例32计算1=」2d=,C1为从z=0到z=2+i的直线段 解∵c1:z=2y+iy(0≤y≤1) 1 ==d==(2y+iy)(2+iy)dy +i)3 此处有图3.3 211
(4) zzfzzf , C C d)( d)( −= ∫∫ − (5) MLzzf C∫ d)( ≤ , 其中M = Max { |)(| ∈Czzf }, L 为曲线C 的长度. 例 3.1 试证 2 d 2 ∫ ≤ C z z ,C 是连接i到 + i2 的直线段(图 3.2). 证 1 || 11 2 ≤= z z Q ， L = 2 此处有图 3.2 2 d C 2 ∴ ≤ ∫ z z . 4 积分 zzf 值的计算 C d)( ∫ 由 f z)( 沿C 积分的定义易推得:若C 为 z = + tytxt )(i)()( α ≤ t ≤ β)( 分段光滑, f z = yxu + v yx ),(i),()( 在C 上分段连续,那么 yuxvyvxuzzf C C C = − + + ddiddd)( ∫∫ ∫ , (3.1) ttztzfzzf C d)(')]([d)( = ∫∫ β α . (3.2) 例 3.2 计算 zzI , 为从 C d 1 2 1 = ∫ C1 z = 0到 z = + i2 的直线段. 解 ：1 Q c += yyz ≤ ≤1)y(0 i2 ∴ ∫∫ ++== 1 0 2 2 1 d)i2()i2(d 1 yyyyzzI C 1 0 3 3 3 i)2( y += 此处有图 3.3 .i 3 11 3 2 +=
例3.3计算2=d=和ly=[d=, 其中C2,C3均以z=-1为起点沿单位圆周到终点z=1(如图3.4 解设z= 12=[=dz=「eeid=-πi,(此处有图3.4) LEd=leeside 曲线C的方向规定如下 当C为光滑线段时,曲线的正方向总是指从起点到终点的方向 当C为简单闭曲线时,C的正方向是指当曲线上的点P顺此方 向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线所围的内部始终位于P点的左方 与之相反的方向称为C的负方向 约定:若对简单闭曲线未声明它的方向,则认定其方向为正向 dz 例3.4计算 其中C为以二0为圆心,F为半径的 正向圆周,n为正整数(如图3.5) 此处有图3.5 解设C:z=z0+re 0≤6≤2),因而 d z (z-2 0,n+1(m+)db de e (cos n8-isin n0)de 当n=0时
例 3.3 计算 zzI C d 2 2 ∫ = 和 zzI C d 3 3 = ∫ , 其中 , C2 C3均以 z −= 1为起点沿单位圆周到终点 z =1(如图 3.4). 解 设 iθ z = e ideed πi, i 0 π i 2 2 == −= ∫∫ − θ θθ zzI C (此处有图 3.4) πiideed . i 0 π i 3 3 == = ∫∫ − − θ θθ C zI 曲线C 的方向规定如下: 当C 为光滑线段时,曲线的正方向总是指从起点到终点的方向. 当C 为简单闭曲线时, C 的正方向是指当曲线上的点 P 顺此方 向沿该曲线前进时,邻近 P点的曲线所围的内部始终位于 P点的左方. 与之相反的方向称为C 的负方向. 约定:若对简单闭曲线未声明它的方向,则认定其方向为正向. 例 3.4 计算 ∫ + − C n zz z 1 0 )( d ,其中C 为以 为圆心, 为半径的 正向圆周, n为正整数(如图 3.5). 此处有图 3.5 0z r 解 设C ： iθ 0 += rzz e ≤θ ≤ 20( π ) ,因而 ∫ + ∫ ++ = − 2π 0 )1i(1 i 1 0 d e ei )( d θ θ θ C n nn r r zz z = ∫ 2π 0 i d e i θ nn θ r = ∫ − 2π 0 d)sini(cos i nn θθθ r n 当n = 0时
dz dz =2π 当n≠0时, dz 0 注意这个积分结果与F和0无关
2π i d )( d 0 1 0 = − = − ∫C n+ ∫C zz z zz z . 当n ≠ 0时, 0 )( d 1 0 = − ∫C n+ zz z . 注意这个积分结果与r 和 无关. 0z
3.2柯西定理及其推广 1柯西定理 2柯西定理的推广
3.2 柯西定理及其推广 1 柯西定理 2 柯西定理的推广
1柯西定理 定理3.1设C是一条简单正向闭曲线,f(z)在以C为边界的有 界闭区域D上解,那么 SCf(a)d2=0 证设=x+ijy,f(-)=+i,f()=l1+iv=v,-i在D上连 续,则 Judx-vdy=r eddy=0, vdxtudy= aVax dy=0 故 Sf(a)dz=0 例如若C:1=1,则=0cd:=0 2柯西定理的推广 定理3.2设D为由外线路C0及内线路C1,C2,…,C围成的有 界多连通域(如图3.6),f(=)在D内及边界线C0,C1,C2,…,Cn 上解析,那么 e)()dz=0 (此处有图3.6) 这里C为D的所有边界,其方向是 C0按逆时针方向取,Ck(k=0,1,…,H)按顺时针方向取 证用弧S1,S2,…,Sn+按图所示将区域D分割成两个单连通域, C"、C'分别表示这两个单连通域的边界线,那么根据柯西定理有
1 柯西定理 定理 3.1 设C 是一条简单正向闭曲线, f z)( 在以C 为边界的有 界闭区域D上解,那么 = 0d)( ∫ zzf C . 证 设 z = x + y,i f = uz + v,i)( uvvuzf yyxx ′ = + = − ii)( 在 D上连 续，则 = ,0dd)(dd ∂ ∂ − ∂ ∂ −=− ∫∫∫ yx y u x v yvxuC D = .0dd)(dd ∂ ∂ − ∂ ∂ =+ ∫∫∫ yx y v x u yuxvC D 故 = 0d)( ∫ zzf C 例如 若C： ，则 z =1|| ;0 cos d = ∫C z z .0de 2 = ∫ zz C z 2 柯西定理的推广 定理 3.2 设D为由外线路 及内线路 , ,…, 围成的有 界多连通域(如图 3.6), C0 C1 C2 Cn f z)( 在D内及边界线 , , ,…, 上解析,那么 C0 C1 C2 Cn = 0d)( ∫ zzf C . (此处有图 3.6) 这里C 为D的所有边界,其方向是 C0按逆时针方向取, kC n) , ,1 ,0( k = L 按顺时针方向取. 证 用弧 , ,…, 1s 2s n+! s 按图所示将区域 D分割成两个单连通域, C'、C '' 分别表示这两个单连通域的边界线，那么根据柯西定理有
f()d==0,[cf()dz=0 从而 [f()d=+[e()d==0 由于沿弧S1,S2,…,Sn+的积分在沿C"和C"的积分中各出现 次,且互为反方向,故在上式左端的积分中它们相互抵消形成了 Sf(a)dz+f(a)dz=f(a)dz, 所以 fo 2)d2 0 定理得证. 定理中()dz=0也可写成 。f()dz=(-+[+…+c-)()d 特别地,当D的内线路中有一条线路C1时,(如图3.7) cf()dz=」f()d 这里有图3.7 这个事实称为闭路变形原理. d z 例 这里有图3.8 C为如图3.8所示所有的边界线 dz dz 例 这里有图3.9 C和C1为如图3.9所示的边界线 由柯西定理进一步可得 定理33设f(=)是在单连通域D内的解析函数
0d)( ， ' ∫ zzf = C 0d)( '' ∫ zzf = C . 从而 zzf C d)( ' ∫ 0d)( '' + ∫ zzf = C . 由于沿弧 , ,…, 1s 2s n+! s 的积分在沿C'和C '' 的积分中各出现一 次,且互为反方向,故在上式左端的积分中它们相互抵消形成了 zzf C d)( ' ∫ + ∫ zzf = C d)( '' zzf C d)( ∫ , 所以 = 0d)( ∫ zzf C . 定理得证. 定理中 = 0d)( 也可写成 ∫ zzf C zzf zzf C CC Cn (d)( d)() 0 21 += −− +L+ ∫∫∫∫ − . 特别地,当D的内线路中有一条线路 时,(如图 3.7) C1 zzfzzf C C d)(d)( 0 1 = ∫∫ . 这里有图 3.7 这个事实称为闭路变形原理. 例 0 )1( d = − ∫C zz z , 这里有图 3.8 C为如图 3.8 所示所有的边界线. 例 = ∫∫ 0 1 d d C C z z z z , 这里有图 3.9 C0和 为如图 3.9 所示的边界线. C1 由柯西定理进一步可得: 定理 3.3 设 f z)( 是在单连通域D内的解析函数
(1)若C是D内连接两点二0及z的任一条简单曲线,那么沿C的 积分 f(s)ds 不依赖于曲线C,由二0及二决定,这时 lcJ(s)ds=」f(s)ds 2)固定z0,而让z在D内任意取值,那么F()=f(s)ds在 D内解析,且F(=)=∫(=) (3)若d(二)为f(二)在D内的原函数,二0,21为D内两点,那么 「f(-)dz=(=1)-p(=0) 证(1)设C"是D内连接二及z的另一条任意曲线,(如图3.10), 由柯西定理知 这里有图3.10 S_cf(s)ds=Lf(s)ds-Jf(s)ds 即 Lf(s)ds=f(s)ds 若令f(二)=l+iv,有 d x-vay udr-vdy, ydx+udy=jvdx+udy 所以积分f(ds与路径无关仅由可,来确定 (2)因为F(z+△)-F()=f()ds,(z+AeD)
(1) 若C 是 D内连接两点 z0及 z 的任一条简单曲线,那么沿C 的 积分 ∫C d)( ssf 不依赖于曲线C,由 z0及 z 决定,这时 = . ∫C d)( ssf ∫ z z ssf 0 d)( (2) 固定 0z ,而让 z 在 D内任意取值,那么 F z)( = ∫ 在 C d)( ssf D内解析,且F z = f z)()(' . (3) 若Φ z)( 为 f z)( 在D内的原函数, z0 , 为1z D内两点，那么 )()(d)( . 1 0 1 0 zzzzf z z∫ Φ−Φ= 证 (1) 设C'是D内连接 及0z z 的另一条任意曲线, (如图 3.10), 由柯西定理知: 这里有图 3.10 0d)(d)(d)( ' ' ∫ = − ∫∫ = − ssfssfssf CC C C , 即 ssfssf , C C d)(d)( ' = ∫∫ 若令 f z = u + i)( v ,有 yvxuyvxuC C dddd ' ∫ − = ∫ − , yuxvyuxv C C dddd ' ∫ + = ∫ + . 所以积分 ssf 与路径无关,仅由 C d)( ∫ 0z , z 来确定. (2) 因为 ∫ +Δ =−Δ+ zz z d)()()( ssfzFzzF ,（ z Δ+ z ∈ D）
2+△ 2+△z f(ads=f(z ds=f(-)·△z 所以 此处有如图3.11 F(=+)-F(=) f(-)、\[(s)-f()ds, 但f()在点二连续,因此对vE>0,3δy>0,当0<S-2kd时, f(s)-f(aka 成立,此式在取△<6时仍然成立,那么 F(z+4-)-F(z) f(-)<6|△|=6 即 Ii F(E+Az)-F(z) f(二=) →0 故 F"(二)=f(=) (3)因为(=)=F"(=)=f(=),那么 (=)-F()=c 取=-0,此时F(二0)=f(s)ds=0,从而C=p(=0),所以 ∫f(s)ds=(-)-φ(-0) 当 时 f(s)ds=φ(=1)-φ(二=0)
= zzfszfszf zz z zz z∫ = ∫ Δ⋅= Δ+ +Δ )(d)(d)( , 所以 此处有如图 3.11 ∫ Δ+ − Δ =− Δ Δ+ − zz z szfsf z zf z F zz F z d)]()([ 1 )( )()( , 但 f z)( 在点 z 连续,因此对∀ ε > 0，∃ δ ∀ f 0，当 < s z ||0 <− δ 时, f s − f z |)()(| < ε 成立,此式在取 Δz || < δ 时仍然成立,那么 =Δ εε Δ <− Δ + Δ − || || 1 )( )()( z z zf z zFzzF , 即 )( )()( lim 0 zf z F zz F z z = Δ Δ+ − →Δ . 故 F z = f z)()(' . (3) 因为Φ z = F z = f z)()(')(' ,那么 Φ z − F z)()( = c . 取 = zz 0 ,此时 0d)()( ,从而 0 0 0 = ∫ = z z ssfzF )( 0 c = Φ z ,所以 )()(d)( , 0 0 ssf Φ z Φ z z z∫ −= 当 z = 时, 1z )()(d)( . 1 0 1 0 ssf Φ z Φ z z z∫ −=
