第2章导数 2.1复变函数的极限 2.2复变函数的连续性 2.3导数 2.4解析函数 2.5调和函数 习题课 2.1复变函数的极限 1复变函数极限的概念 2复变函数极限定理 1复变函数极限的概念 定义21设函数f()在20的某去心邻域内有定义,若对任 意给定的正数E(不论它多么小).总存在正数O(E),使得适合不 等式042-50K(E)的一切2,对应的函数值f()都 满足不等式 f(=)-4kE
第 2 章 导 数 2.1 复变函数的极限 2.2 复变函数的连续性 2.3 导数 2.4 解析函数 2.5 调和函数 习题课 2.1 复变函数的极限 1 复变函数极限的概念 2 复变函数极限定理 1 复变函数极限的概念 定义 2.1 设函数 f ( )z 在 0 z 的某去心邻域内有定义,若对任 意给定的正数ε (不论它多么小).总存在正数δ ( ) ε ,使得适合不 等式 0 0| | () <− < z z δ ε 的一切 z ,对应的函数值 f ( )z 都 满足不等式 | () | f z A− <ε 1
那么,常数A就叫做函数f(=)当二少二0时的极限记作 if()=A或f(x)→)A(2→> 例21证明若1igf(=)=A,则 lim f(zal 证N为1()=4所设以 对E>0.95(6)0.y042-=0k0时极限不存在 证当二沿实轴从0的右方趋向于0时,趋向了十OO.当 二沿实轴从0的左方趋向于时,C趋向了0.也就是说二以不同 的方式趋于原点时,f(二)于了不同的点由函数极限定义即得
那么,常数 A就叫做函数 f ( )z 当 0 z→z 时的极限,记作 0 lim ( ) z z f z → = A 或 f ( )z A → ( 0 z→z ). 例 2.1 证明 若 0 lim ( ) z z f z A → = ,则 0 lim| ( )| | | z z f z A → = . 证 因为 0 lim ( ) z z f z → = A,所以 对∀ ε >0, ∃δ ( ) ε ; 0 ,当 0 0| | < z− < z δ 时, | () | f z A− <ε 成立.又因为 | f ( )z A | | −≤ − | | f ( )z A|, 由极限的定义知: 0 lim| ( )| | | z z f z A → = . 例 2.2 证明函数 1 6 f z() e = 在 z→0时极限不存在. 证 当 z 沿实轴从0的右方趋向于0时, 1 ez 趋向了+∞.当 z沿实轴从0的左方趋向于0时, 1 ez 趋向了0.也就是说 z 以不同 的方式趋于原点时, f (z)趋于了不同的点.由函数极限定义即得 2
结论 2复变函数极限定理 定理2.1设 f(=)=l(x,y)+iv(x,y)6=x+1y A=a+ib那么 f(=)=A 的充要条件是 lim u(x,y=a H lim v(x, y)=b (x,y)(x0,y0) (2.2) 证明必要性 因为 ligf()=A.所以对E>0.D(E) >0, 当042-=0kO(E)时,有f(二)AE成立即当 0<√(x-x)+(y-y)2<6(e)时 (u-a)+i(v-b)kE lu-ake, v-bke 依二元实函数极限的定义有
结论. 2 复变函数极限定理 定理 2.1 设 f () (, ) i(, ) z uxy vxy = + , 0 0 i 0 z =x y + , A= +a ib那么 0 lim ( ) z z f z → = A (2.1) 的充要条件是 且 . (2.2) 0 0 (,) ( , ) lim ( , ) xy x y uxy a → = 0 0 (,) ( , ) lim ( , ) xy x y vxy b → = 证明 必要性 因为 0 lim ( ) z z f z → = A,所以对 ∀ ε >0, ∃ δ ( ) ε ; 0 , 当 0 0| | () <− < z z δ ε 时,有| (f z A ) | − <ε 成立.即当 2 2 0 0 0 ( )( ) ( < − +− < xx yy δ ε)时, |( ) i( )| ua vb − + −<ε | | u a− <ε , |v b− |<ε . 依二元实函数极限的定义有 3
im u(x, y y)xo, yo) im v(x,y)=b (x, y)(o,yo) 充分性 为 式 (2.2), 所 以 0<√(x-x)2+(y-y)2<6()时有 l-ak5,|"-b5 而 Jf(=)-AH=(-a)+i(v-b) ≤u-a+-b 故0<二-0时有 J(=)-4K 即 lim f(z)=A 定理2设!gf(2)=A.1gg(2)=B那么 (1)lif(=-)+g(z)]=A+B (D limlf() g(z]=A. B
0 0 (,) ( , ) lim ( , ) xy x y uxy a → = , 0 0 (,) ( , ) lim ( , ) xy x y vxy b → = . 充分性 因 为 式 (2.2), 所 以 当 2 2 0 0 0 ( )( ) ( < − +− < xx yy δ ε)时,有 | | 2 u a− <ε , | | 2 v b− <ε . 而 | ( ) | |( ) i( ) | |. f z A ua vb | |u a| v b −= −+ − ≤ −+− 故当 0 0| | <− < z z δ 时,有 | (f z A ) | − <ε , 即 0 lim ( ) z z f z A → = . 定理 2.2 设 0 lim ( ) z z f z A → = , 那么 0 lim ( ) z z gz B → = (Ⅰ) 0 lim[ ( ) ( )] z z f z gz A → ± =±B; (Ⅱ) 0 lim[ ( ) ( )] z z f z gz AB → ⋅ = ⋅ ; 4
g(2)b(B≠0 ID im
(Ⅲ) 0 ( ) lim ( 0) ( ) z z f z A B → g z B = ≠ . 5
2.2复变函数的连续性 1复变函数连续的概念 2复变函数连续的定理
2.2 复变函数的连续性 1 复变函数连续的概念 2 复变函数连续的定理 6
1复变函数连续的概念 定义22若 if(x)=f(-).则陈函数f()在 0处连线若J(2)在区域D内处连线,则称函数(二)在 区域内连续 2复变函数连续的定理 定理23在处连续的两个函数的和、差、积、商(分母在二处 不为零)在二0处仍连续 2.3 论 数 Secz,cSCz,tanz,cotz,Shz,chz的连续性 例2.4讨论函数arg2的连续性 例2.5讨论函数Ln二的连续性 定理24如果函数h=8()在二连续,函数 =f(h)在h=g(二0)连续那么复合函数 =f!g(z)] 在二处连续 复平面上有界闭区城万上连续的函数1=(二),它的模 f(z)在万上一定有界
1 复变函数连续的概念 定义 2.2 若 0 0 lim ( ) ( ) z z f z fz → = ,则称函数 f ( )z 在 0 z 处连续.若 f ( )z 在区域 D内处处连续,则称函数 f ( )z 在 区域 D内连续. 2 复变函数连续的定理 定理 2.3 在 0 z 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 0 z 处 不为零）在 0 z 处仍连续. 例 2.3 讨 论 函 数 : secz ,cscz , tanz ,cotz ,shz ,chz 的连续性. 例 2.4 讨论函数argz 的连续性. 例 2.5 讨论函数Lnz 的连续性. 定 理 2.4 如 果 函 数 h gz = ( ) 在 0 z 连续,函数 w fh = ( )在 连续,那么复合函数 0 h gz = ( 0) w fgz = [ ()] 在 0 z 处连续. 复平面上有界闭区域 D 上连续的函数 w fz = ( ) ,它的模 | () f z |在D 上一定有界. 7
2.3导数 1导数的概念 2导数的运算法则 3函数可导的充要条件 4高阶导数
2.3 导 数 1 导数的概念 2 导数的运算法则 3 函数可导的充要条件 4 高阶导数 8
1导数的概念 定义2.3设 f(2)在包含二0的某区域D内有定义如果 f(二)=1im(2+A2)-f(za) △z 存在那么我们说函数f(=)在二0可导(或可微),并称这个极限为 函数=f()在二0处的导数记为f(=0)即 2? 92 f(=lim/(2+42-f( △z 若记2=二0+A,则得到∫(=0)的另一种表达式 f(=0) f(=)-f( (E∈D) 1/()=1i/(2)-/(=) ,所以 (∈D) in/(=)-f(=a)Lim()-f(=0)1(-0)=0 即在某点可导的函数在该点一定连续 函数f(-)的导函数?2(二)定义为
1 导数的概念 定义 2.3 设 f ( )z 在包含 0 z 的某区域 D内有定义,如果 0 0 0 0 ( )( '( ) limz f z z fz ) f z z Δ → +Δ − = Δ 存在,那么我们说函数 f ( )z 在 0 z 可导(或可微),并称这个极限为 函数w fz = ( )在 0 z 处的导数,记为 0 f '( ) z 即 ？？？？ 0 0 0 0 ( )( '( ) limz f z z fz ) f z z Δ → +Δ − = Δ . 若 记 0 z= +Δ z z ，则得到 0 f '( ) z 的另一种表达式 0 f '( ) z = 0 0 0 ( ) () ( ) lim z D z z f z fz z z ∈ → − − 因为 0 f '( ) z = 0 0 0 ( ) () ( ) lim z D z z f z fz z z ∈ → − − ，所以 ？？？ [ − ]= → )()( 0 0 zfzfLim zz [ ] 0)( 1 0 0 0 )()( 0 =− − − → zz zz zfzfLim zz 即在某点可导的函数在该点一定连续. 函数 f ( )z 的导函数？？？ 0 f '( ) z 定义为 9
f(x)=1imf(+△)-f() △z→>0 △z 若 v=f(=),△=f(=+△z)-f(=) d 则 △z 例26证明(二")=n1(n为正整数) 证因为 (+△)=C=(△yk (△y"+Cn(△2)-z+C(△y2z2+ +Cn(Azy 所以 (z+△ △z→>0 △ 10
0 ( )( '( ) limz f z z fz) f z z Δ → +Δ − = Δ . 若 记 w fz = ( ) , Δ = +Δ − w fz z fz ( ) ( ) , 0 d '( ) d f z w z = ,则 0 d lim d z w w z z Δ → = Δ Δ . 例 2.6 证明 1 ( )' n n z nz − = (n为正整数). 证 因为 0 ( ) () n n kk n k n k z z Cz z − = +Δ = Δ ∑ 1 1 2 22 () () () nn n z C z zC z z n n − − =Δ + Δ + Δ +" ( ) n nn Czz n − n + Δ 所以 0 ( ) ( )' lim n n n z z z z z Δ → z +Δ − = Δ 10