教学内容释疑解难 第3章 1.设f()在原点的邻域内解析,那么lim"f(re)dO=2xf(0 二=re, 则 f(0)=2πf(0) 计算下列各积分,积分路径为任意曲线 并说明积分路径为什么不能过z=0及z=1 解:(、cd b (3+-,)dz=3(b-a)+5Ln 因为计算题目所采用的方法要求被积函数在单连通域内解析,(a)、(b)中积分路径不过z=0,z=1 时,便能满足上述要求,即可采用积分值与路径无关,仅与起点和终点有关的定理来求解. 3.设f()在00,30,当|2-akd时,|f(2)-f(a)kE 又 f(c d f(5)-f(心a4(<R) -alar 取r=一<R,其中k为正整数,则 2I if(a) dk<5.2x.0=2x6 k 由于上式左边为一常数,而E为任意取定的正数 f∫ 由解析函数高阶导数公式的证明过程可知 f(a) f()」 d 函数f()在二=a处可导,在圆|z-akR内解析 4.通过函数∫()=e,a=0,b=1+i对下述结论进行验证:若∫()在区域D内解析,C为D内
教学内容释疑解难 第 3 章 1. 设 zf )( 在原点的邻域内解析，那么 2d)e(lim π )0( . 2 0 i 0 rf f r = → ∫ π θ θ 证：设 ，则 iθ = rz e z z zf rf r r rz d i )( limd)e(lim 0 || 2π 0 i 0 → ∫ → ∫ = θ = θ 2)0( π )0( i 2π i =⋅= ff . 2. 计算下列各积分，积分路径为任意曲线. (a) ∫ b a z z 2 d ; (b) ∫ − b + a z z z d 1 23 . 并说明积分路径为什么不能过 及 z = 0 z =1. 解： (a) ; 111d 2 z baz z b a b a −=−= ∫ (b) 1 1 Ln5)(3d) 1 5 3(d 1 23 − − +−= − += − + ∫ ∫ a b abz z z z b z a b a . 因为计算题目所采用的方法要求被积函数在单连通域内解析，(a)、(b)中积分路径不过 = zz = 1 ,0 时，便能满足上述要求，即可采用积分值与路径无关，仅与起点和终点有关的定理来求解. 3. 设 zf )( 在 ∀ δ ，当 ζ − a || < δ 时， ζ − aff |)()(| < ε . 又 ∫ =− ∫ =− − − = − − ra ra a aff a f af || || d )()( d )( 2 π )(i ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ Q < Rr )( , ∴ 取 R k r <= δ ，其中 k 为正整数, 则 ε δ δ ε ζ ζ ζ ζ 2d π 2π )( 2π )(i || =⋅⋅< − − ∫ =− k k a f af ra . 由于上式左边为一常数，而ε 为任意取定的正数 ∴ ∫ =− − = ra a f af || d )( 2π i 1 )( ζ ζ ζ ζ . 由解析函数高阶导数公式的证明过程可知: ∫ =− − = ra a f af || 2 d )( )( 2π i 1 )(' ζ ζ ζ ζ ∴ 函数 在 )( = azzf 处可导, 在圆 − || < Raz 内解析. 4．通过函数 bazf +=== i1 ,0 ,e)( 对下述结论进行验证：若 在区域 内解析，C 为 内 z zf )( D D
以a,b为端点的直线段,则存在数(A|≤1)与点5∈C使得: f(b)-f(a)=a (b-a)(s) 验证:对函数∫(-)=e,端点a=0,b=1+i要使 f(b)-f(a)=A|(b-a)厂(2) 成立,即 =ae 成立,其中4≤1,0<a<1 利用复数相等的定义知,若取 a=0.58329,A=0.58669 上述结论成立 5.如果f()在|zk1内解析,并且f(=) 1-/=/证明 f(O)≤(n+1)(1+-)"<e(n+1)!(n=12,…) (提示:考虑∫(-)在|二=一,上的积分) n+1 证:因为∫(=)在|=k1内解析,由柯西积分公式知 f"(O)= ∫(=) d=(r<1) 利用积分性质有 (0)≤ nl(() d nk (1-r)r 与要证明的结论相比较,取r=-n-,则 n+1 "(o)ks(n+)(4+-)<emn+l)
以 为端点的直线段，则存在数 ,ba λ λ ≤ )1|(| 与点ξ ∈C 使得： − = λ − fabafbf ξ )(')(||)()( . 验证：对函数 ,e)( 端点 z zf = = ba = + i1 ,0 要使 − = λ − fabafbf ξ )(')(||)()( 成立，即 i)1( i1 e|| i1 1e + + = + − α λ 成立，其中 λ α <<≤ 10 ,1|| . 利用复数相等的定义知, 若取： α = λ = 58669.0 ,58329.0 , 上述结论成立. 5．如果 zf )( 在 z <1|| 内解析，并且 ||1 1 |)(| z zf − ≤ ，证明： )!1e() 1 1()!1()0()( n +<++≤ n nf n n n = L) ,2 ,1( . （提示：考虑 在zf )( 1 || + = n n z 上的积分）. 证： 因为 zf )( 在 内解析 z <1|| , 由柯西积分公式知 ),1( d)( 2π i ! )0( || 1 )( = < ∫ = + rz z zfn f rz n n 利用积分性质有 ∫ = + ≤ rz n n z z n zf f || 1 )( |d| || )( 2π ! )0( |||)|1( |d| 2π ! ||∫ 1 = + − ≤ rz n zz n z n rr n )1( ! − = , 与要证明的结论相比较，取 + 1 = n n r ，则 )!1e() 1 1()!1()0()( n +<++≤ n nf n n