复变函数与积分变换试题与答案 、填空(每题2分) 1.z=i的三角表示式是: 。指数表示式是 2.|2-l|4在复平面上表示的曲线是一个 3.√8的全部单根是 4.函数在八()=在平面上是否解析 5.设C是正向圆周比,积分∮ 6.函数f()= 的弧立奇点是 ,其中 是极点, 是本性奇点。 7.级数1+z+2+…+=+…在<1时的和函数是 8.分式线性映射具有 、判断题(每题2分,请在题后括号里打“√”或“×”)。 1.零的辐角是零。 2.<2 3.如果(-)在=0连续,那么f(=0)存在 () 4.如果∫(二。)存在,那()在二0解析。 6.解析函数的导函数仍为解析函数 )))) 7.幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 8.孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为-B 1
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（每题 2 分） 1．z=i 的三角表示式是： 。指数表示式是 。 2．|z-1|=4 在复平面上表示的曲线是一个 。 3．3 8 的全部单根是： ， ， 。 4．函数在f(z)=|z| 2 在z平面上是否解析 。 5．设 C 是正向圆周|z|=1，积分∫ c z dz 2 = 。 6．函数 2 2 1 )1( )( z e zf − = 的弧立奇点是 和 ，其中 是极点， 是本性奇点。 7．级数1+ z + z 2 z n +++ LL 在|z|<1 时的和函数是 。 8．分式线性映射具有 ， ， 。 二、判断题(每题 2 分，请在题后括号里打“√”或“×”)。 1．零的辐角是零。 （ ） 2．i<2i. （ ） 3．如果f(z)在z0连续，那么 存在。 ′ zf 0 )( （ ） 4．如果 存在，那 )( f(z)在z 0 ′ zf 0解析。 （ ） 5． z ee − =2 （ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数 （ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 （ ） 8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为− β −1 1
9.单位脉冲函数δ()与常数1构成一个傅氏变换对 10.共形映射具有保角性和伸缩率的不变性, 三、计算题(每题6分) 1.5(其中C为正向圆周=1) (积分沿正向圆周进行)
9．单位脉冲函数 与常数 δ t)( 1 构成一个傅氏变换对。 （ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 （ ） 三、计算题（每题 6 分） 1． dz z z ∫ c 3 sin （其中 C 为正向圆周|z|=1） 2．∫ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + 4|| 3 2 1 1 z dz zz （积分沿正向圆周进行） 2
5:2(积分沿正向圆周进行) 4.求函数()=在无穷远点处的留数
3． dz z ze z z ∫ =2|| −2 1 （积分沿正向圆周进行） 4．求函数 )2()( 1 )( 10 −+ = ziz zf 在无穷远点处的留数 3
四、求解题(每题6分) 求函数叫(x,y)=x2-y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数 f(=),使∫(0)=0。 2.求函数f()= 在04z-1k1内的罗朗展开式
四、求解题（每题 6 分） 1．求函数 22 ),( = − yxyxu 的共扼调和函数 和由它们构成的解析函数 ，使 f（0）=0。 yxv ),( zf )( 2．求函数 2 )1( 1 )( zz zf − = 在 < z − < 1|1|0 内的罗朗展开式。 4
五、解答题(每题6分) 1.求函数f()=et20 的傅氏变换F(o) 2.求方程 y+2y-3y=e满足初始条件y1=1,y。=0的解
五、解答题（每题 6 分） 1．求函数 的傅氏变换 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = − 0 00 )( te t tf βt F ω)( 。 2．求方程 t eyyy − ′′ + ′ − 32 = 满足初始条件 1 0 ′ = t= y ， 0 0 = t= y 的解。 5
参考答案 1. cos +isin t 5.0 8.保角性,保圆性,保对称性 4. 6
参考答案 一、1． 2 sin 2 cos π π + i ， 2 π i e 2. 圆 3. 1- 3 i 1+ 3 i 2 4. 否 5. 0 6. 1，∞，1，∞ 7 1− z 1 ． 8. 保角性，保圆性，保对称性 二、1．× 2. × 3. × 4. × 5. × 6. √ 7.√ 8. √ 9. √ 10. √ 6
三、1.解:原式=27(smn14分=smn=03分 2.解:原式=(2分)51+53(3分)=2m+4701分)=67 3.解:(2分 d(3分)=lei+ei_12(1分)=2mchl 解:Resf,0]=(2分)-Re ,0 (1分)=R 0 0=0(2分) 四、解: (1分) f'(=0+iOv_Ou:Or (3分) f(=)=2+c f(0)=0(1分)∴f(z)=2(1分) 2.解 (4分) f(-)=∑(-1)"(2-12 (2分) (0)=(2分)(-d (2分)="ce"h=(2分)n1 2.解:∵F[y"+2y-3y]=F[e SY(S)-SY(0)-y(0)+2S(S)-(0)-3(S)= (2分) S+ S+2 ∴Y(S) (S-1)S+1)(S+3)
三、1．解：原式= 0 )(sin !2 2 = ′′ z z πi 4 分= 0 sin z= z =0 3 分 2．解：原式=（2 分） dz z z dz ∫ ∫ z z = = − + | 4 4| + || 3 2 1 （3 分）= π + πii （ 分） 6142 π= i 3．解：（2 分） i ∫ dze ee （1 分）= zz z z z z z z ⎟ π⋅+= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = = −= [ 2] 2 1 3 1 1 1 1 2 1 2|| （ 分） 1 1 πich12 4．解： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=∞ 0, 11 Re2],[Re 2 zz fs （ 分） fs （1 分） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 0, 1 2 11 1 Re 10 2 z z i z s 00, )21()1( Re 10 9 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −= zzi z s （2 分） 四、解：∵ x x u = 2 ∂ ∂ y y u −= 2 ∂ ∂ （1 分） ∴ z x v i x u x v i x u zf )( = 2 ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ′ = （3 分） ∴ = +czzf 2 )( ∵f(0)=0 （1 分） ∴f(z)=z 2 （1 分） 2．解： n n n z zz )1()1( 11 11 0 −−= + − = ∑ ∞ = （4 分） ∴ （2 分） 2 0 )1()1()( − ∞ = ∑ −−= n n n zf z 五、解： F dtet ti ∫ ∞+ ∞− ω− =ω 分） )(2()( （2 分） ∫ tit dtee =（2 分） ∞+ ω−β− = 0 iω+β 1 2．解：∵F ′′ + ′ − yyy ]32[ =F [e -t] ∴ 1 1 [200 3]0 2 + −− ′ + =−− S YSYSYS SYYSSY ）（）（）（）（）（）（ (2 分) ∴ 1 2 )32( 2 + =−+ S SYSS ）（ ∴ )3)(1)(1( 2 ++− + = SSS S SY ）（ 7
∴y()=∑ResY(s)e",S, 2 (2分) (S+1)(S+3) (S-1)(S+3) (S+1)(S-1) (1分)
∴ = ∑ ],[Re)( k st ）（ SeSYsty 1 1 3 )1)(1( )2( )3)(1( 2 )3)(1( 2 = −= −= −+ + + +− + + ++ + = s st s st s st SS eS e SS S e SS S （2 分） = t t t eee 3 8 1 4 1 8 3 − − −− （1 分） 8