复变函数与积分变换试题与答案 1.(5)复数z与点(x,y)对应请依次写出:的代数、几何、三角 指数表达式和z的3次方根。 2.(6)请指出指数函数w=e、对数函数w=lnz、正切函数 w=tanz的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。 3.(9)讨论函数f(x)=x2+iy2的可导性,并求出函数f()在可 导点的导数。另外,函数∫(x)在可导点解析吗?是或否请说明
复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数 z 与点(, ) x y 对应,请依次写出 的代数、几何、三角、 指数表达式和 的 3 次方根。 z z 2.（6）请指出指数函数 = ew z 、对数函数 = ln zw 、正切函数 = tan zw 的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 3.（9）讨论函数 的可导性，并求出函数 在可 导点的导数。另外，函数 在可导点解析吗？是或否请说明 22 += i)( yxzf zf )( zf )( 1
理由。 4.(7)已知解析函数∫(x)=u+iv的实部u=y3-3x2y,求函数 f(x)=u+iv的表达式,并使f(0)=0。 (6×2)计算积分 (1)
理由。 4.（7）已知解析函数 = + i)( vuzf 的实部 ，求函数 的表达式，并使 yxyu 23 −= 3 += i)( vuzf f = 0)0( 。 5.（6×2）计算积分： （1）∫ + C − n zz z 1 0 )( d , 2
其中C为以=为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数; (2) dz (二-1)2(z+2) 6.(5×2)分别在圆环(1)0<=k1,(2)04z-1k1内将函数 ∫(=) 展为罗朗级数
其中 为以 为圆心, C 0 z r 为半径的正向圆周, n为正整数； （2）∫ =3|| +− 2 d )2()1( e z z z zz 。 6.（5×2）分别在圆环 （1） < z < 1||0 ，(2) < z − < 1|1|0 内将函数 2 )1( 1 )( zz zf − = 展为罗朗级数。 3
7.(12)求下列各函数在其孤立奇点的留数 (1)f(z) -sin f(=)= 二)=ze 8.(7)分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么
7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )( z zz zf − = ; (2) zz zf sin 1 )( 2 = ; (3) 1 1 e)( − = z zzf . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 4
9.(6分)求将上半平面m(x)>0保形映照成单位圆|vk1的 分式线性函数。 10.(5×2)(1)己知F[(O)=F(O),求函数f(21-5)的傅里叶 变换 (2)求函数F() 的傅里叶逆变换 B3+i@(5+i@)
9.（6 分）求将上半平面 保形映照成单位圆 的 分式线性函数。 z f 0)Im( w p 1|| 10.（5×2）（1）己知 F = Ftf ω)()]([ ，求函数 tf − )52( 的傅里叶 变换； （2）求函数 )i5)(i3( 2 )( ωω ω ++ F = 的傅里叶逆变换。 5
11.(5×2)(1)求函数f()=e2u(t-2)的拉普拉斯变换; (2)求拉普拉斯逆变换 12.(6分)解微积分方程:y()+y(r)dr=1,y0)=0
11.（5×2）（1）求函数 2t tutf −= )2(e)( 的拉普拉斯变换； （2）求拉普拉斯逆变换L-1 ] 54 [ 2 + ss + s 。 12.（6 分）解微积分方程： 0)0( ,1d)()(' 。 0 + == ∫ yty y t ττ 6
答案 1.(5分)请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的 3次方根 z=x+iy=re =r(cos0+isin 0) 0+2kr 2=re3 r Ar 2.(6分)请指出指数函数w 对数函数w=1nz、正切函数 w=tanz的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。 指数函数v=c、对数函数w=lnz、正切函数w=tanz的解析域 分别为:整个复平面无界开区域;除去原点及负半实轴,无界 开区域,;除去点z=k丌+一,无界开区域 3.(9分)讨论函数f(x)=x2+iy2的可导性,并求出函数f(x)在 可导点的导数。另外,函数∫(x)在可导点解析吗?是或否请说 明理由。 解 2x ov=2y 0,l,v可微 所以x=y时函数可导,且f()=2x 因为函数在可到点的任一邻域均不可导,所以可导点处不解析 4.(6分)已知解析函数f()=l+iv的实部u=y3-3x2y,求函
答 案 1.（5 分）请依次写出 的代数、几何、三角、指数表达式和 的 3 次方根。 z z (cos sin ) i z x iy re r i θ =+ = = + θ θ 2 3 k i z re θ + π = z ：r, Argz 2. （6 分）请指出指数函数 = ew z 、对数函数 = ln zw 、正切函数 = tan zw 的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 指数函数 = ew z 、对数函数 = ln zw 、正切函数 = tan zw 的解析域 分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界 开区域，；除去点 2 z k π = + π ，无界开区域。 3.（9 分）讨论函数 的可导性，并求出函数 在 可导点的导数。另外，函数 在可导点解析吗？是或否请说 明理由。 22 += i)( yxzf zf )( zf )( 解： 2 20 = 0 u v uu x y x y yy ∂ ∂ ∂∂ = == ∂ ∂ ∂∂ ， 可微 u v, 所以 x = y 时函数可导，且 () 2 x y f z x = ′ = 。 因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。 4. （6 分）已知解析函数 = + i)( vuzf 的实部 ，求函 yxyu 23 −= 3 7
数f()=u+iv的表达式,并使f(0)=0。 y 3y2-3 v=x-3xy+c 解:f( 3x'y+i(x'-3xy2)+ic (0)=0 C=0 f(=)=y3-3x2y+i(x3-3xy2) 5.(6×2)计算积分 (1) 二 其中C为以为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数; (2) d z 3(2-1)2(x+2) 解(1)设C的方程为x=x+re°(0≤0≤2x),则 d= d日 -de " ne)de 所以 d z d: (当n=0时)
数 += i)( vuzf 的表达式，并使 f = 0)0( 。 解： 3 2 2 2 3 2 32 3 2 32 3 2 3 6 , 33 3 ( ) 3 i( 3 ) (0) 0 0 ( ) 3 i( 3 ) u y xy u vu xy y x , v x y y x v x xy c f z y x y x xy ic f c f z y x y x xy = − ∂ ∂∂ =− = = − =− ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∴ =− + =− + − + = ∴ = =− + − Q Q 5.（6×2）计算积分： （1）∫ + C − n zz z 1 0 )( d , 其中 为以 为圆心, C 0 z r 为半径的正向圆周, n为正整数； （2）∫ =3|| +− 2 d )2()1( e z z z zz 。 解 （1）设C 的方程为 iθ 0 += rzz e ≤ θ ≤ 20( π ),则 + ∫∫ ++ = − 2π 0 )1i(1 i 1 0 d e ei )( d θ θ θ nn C n r r zz z ∫ = 2π 0 i d e i θ nn θ r ∫ = − 2π 0 d)sini(cos i nn θθθ r n 所以 2π i d )( d 0 1 0 = − = − C + ∫∫ C n zz z zz z （当n = 0时） 8
d 0(当n≠0时)。 (-20) -d (z-1)(z+2) dz+ d =(-1)2(x2+2)1+=1(-1)(z+2) d z (二-1) d z+2 (z-1)2 =-eI i+e-Ii=-(2e+e-b i 9 6.(5×2)分别在圆环(1)04zk1,(2)0<z-1k1内将函数 ∫(=)= 展为罗朗级数 二(1-) 解:(1) (,y=C∑=") ∑n”(=k1), f(x)=-·n2 (|=k1) z1+z-1 ∑(-1)"(z-1)”(-1k1), z(1-z)2(x-1) (-1)”(二-1)” (|z-1k1) 7.(12)求下列各函数在其孤立奇点的留数
0 )( d 1 0 = − ∫ + C n zz z （当n ≠ 0时）。 （2）∫ =3|| +− 2 d )2()1( e z z z zz ∫ =− ∫ =+ +− + +− = 2 |2| 1 2 2 |1| 1 2 d )2()1( e d )2()1( e z z z z z zz z zz ∫ =− ∫ =+ + − + − + = 2 1 |2| 2 2 1 |1| 2 d 2 )1( e d )1( 2 e z z z z z z z z z z 2 2 1 )1( e 2)' π i 2 e 2π (i = −= − ⋅+ + ⋅= z z z z z z )ee2( π i 9 2 e π i 9 2 eπ i 9 4 −2 −2 +=+= . 6.（5×2）分别在圆环 （1） < z < 1||0 ，(2) < z − < 1|1|0 内将函数 2 )1( 1 )( zz zf − = 展为罗朗级数。 解：（1）Q ∑ ∞ = = − = − 0 2 )'()' 1 1 ( )1( 1 n n z z z )1|(| , 0 = ∑ < ∞ = znz n n ∴ )1|(| )1( 11 )( 1 1 2 = < − ⋅= ∑ ∞ = − nz z z z zf n n . (2) Q )1|1(| 1)()1( 11 11 0 −−= <− −+ = ∑ ∞ = z z zz n n n , ∴ ∑ ∞ = −− − = − = 0 2 2 )1()1( )1( 1 )1( 1 )( n n n z zzz zf )1|1(| )1()1( . 0 2 ∑ −−= <− ∞ = − z z n n n 7. （12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 9
(1)f()=sin;2)f(=-1 (3)f(z) sIn 解:(1)∵z=0为f()的可去奇点 Res[f(=),0]=0 (2)∵z=0为f(z)的三阶极点,z=(k=±1,±2,…)为f()的 阶极点, Reslf(=),0]=lim(=3 )= sIn Re[f(=),kπ] 2zsin=+=cos=-skr (3)∵z=1为f()的本性奇点, e Res[f(=), 1]=c, =3 8.(7)分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么 分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点, 指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点, 幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。 9.(6分)求将上半平面lm(x)>0保形映照成单位圆|vk1的 分式线性函数。 解 (Im(二0)>0) 10.(5×2)(1)己知[f()=F(o),求函数f(21-5)的傅里叶 变换;
(1) 3 sin )( z zz zf − = ; (2) zz zf sin 1 )( 2 = ; (3) 1 1 e)( − = z zzf . 解：（1） Q z = 0 为 的可去奇点, zf )( ∴ zf = 0]0 ),(Res[ ; （2） Q z = 0 为 的三阶极点, zf )( = kz π = ± ± ,,k L) 2 1( 为 的 一阶极点, zf )( 6 1 ')' sin 1 (lim !2 1 ]0 ),(Res[ 2 3 0 ∴ =⋅= → zz zf z z , 2 π 2 ( π ) )1( sin2 cos 1 ),(Res[ π ] kzzzz kzf k kz − = + ∴ = = ; （3） Q z = 1 为 的本性奇点, zf )( ∑ ∞ = − − +−= 0 1 1 )1(! 1 )11(e n n z zn zz , 2 3 ]1 ),(Res[ ∴ czf −1 == 。 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点， 指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点， 幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。 9.（6 分）求将上半平面 保形映照成单位圆 的 分式线性函数。 z f 0)Im( w p 1|| 解： 0 0 0 (Im( ) 0) i z z we z z z θ − = > − 10.（5×2）（1）己知 F = Ftf ω)()]([ ，求函数 tf − )52( 的傅里叶 变换； 10