《数学物理方法》期终考试试题 (30分)简答题 1.判断函数 2,在何处可导(并求出其导数)在何处解析 2.计算积分 3.写出函数f(2)=cos-在其所有孤立奇点(包括∞点)处的留数 4.写出函数f(2)=mr2在其所有孤立奇点(包括∞点)处的留数 5.写出方程22m 0在其所有正则奇点处的指标 (25分)求解下列定解问题 0, 0 t>0 x=0 t=0 0,0≤x≤l 其中a是已知的与x和t都无关的常数。 三、(15分)求解同心球壳内的定解问题 a<r<b,0<6<丌,0<y<2丌 l==0,u=b=cos26,0≤0≤r,0≤9≤2x 四、(15分)求解圆内定解问题 V2u=0 0<r<a,0<y<2 l,=0有界,u,= - SIn 0≤y≤2丌,t≥0 ul=0=0 0≤r≤a,0≤y≤2 其中K是已知的与r,φ和t都无关的常数 五、(15分)求一维半无界 Helmholtz方程相应的 Green函数G(x,x)它满足 +k2G(x,x)=-6(x-x dr G在x→∞只有出射波(取时间因子为e-ict) 其中k是已知的与x和x都无关的常数
➋➌➍➎➏➐➑➒➓➔→➣➣↔ ✱✲ ↕30 ✶ ➙ ➸➛✵ 1. ➜➝✹✸ x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 ❋➞➟➭✦ ↕ù❾➠✽✦ ✸ ➙✲❋➞➟▼◆ 2. ➉➊❩ ✶ I |z|=2 cos z z 3 dz 3. ✒ ➠ ✹✸ f(z) = cos z z − 1 ❋ ✽➯×➠sè❲ ↕➡➢ ∞ ❲ ➙➟ P❤✸ 4. ✒ ➠ ✹✸ f(z) = ln z sin πz ❋ ✽➯×➠sè❲ ↕➡➢ ∞ ❲ ➙➟ P❤✸ 5. ✒ ➠➞➤ z d 2w dz 2 + dw dz − w = 0 ❋ ✽➯× ⑩ ❨è❲➟ P➥➦ ⑦✲ ↕25 ✶ ➙ ❾▼ ➋➌➇▼ ✖✵ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0 ∂u ∂x x=0 = ∂u ∂x x=l = 0, t ≥ 0 u t=0 = x, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l ✽✘ a ✺⑧⑨P➧ x ❳ t ➨✢➩P ➳✸➫ ❿✲ ↕15 ✶ ➙ ❾▼Ý➭✚➯▲ P➇▼ ✖✵ ∇2u = 0, a 0 u r=0×✗ , u r=a = sinϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, t ≥ 0 u t=0 = 0, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ✽✘ κ ✺⑧⑨P➧ r ✛ ϕ ❳ t ➨✢➩P ➳✸➫ ➍✲ ↕15 ✶ ➙ ❾✱➲Ð✢ ✗ Helmholtz ➞➤➳➵P Green ✹✸ G(x, x0 ). ➸➺➻ d 2G(x, x0 ) dx 2 + k 2G(x, x0 ) = −δ(x − x 0 ) 0 < x, x0 < ∞ G x=0 = 0, G❋ x → ∞ ÷×➠➼➽ ↕❰ ➧➾ ✿➚ ❖ e −iωt ➙ ✽✘ k ✺⑧⑨P➧ x ❳ x 0 ➨✢➩P ➳✸➫ 18
