复变函数试题 注愈 除笫一题要求直接回答外,其余各题 均需写出必要的关键步骤及理由 选择题(20分) 1.对数函数v=ln(1+2)是多值函数,其原因是: (1)argz的多值性; (2)arg(1+z)的多值性; (3)z的数值不确定; (4)1+z的数值不确定 2.设函数f()在复连通区域G内解析,C为G内的分段光滑曲线端点为A和B,则积分/f(2)d (1)与积分路径无关,但与端点坐标有关; (2)与积分路径有关,但与端点坐标无关; (3)与积分路径及端点坐标均无关; (4)与积分路径及端点坐标均有关. 3.若函数∫(z)在z=a点解析 f(a)=f(a)=…=fn-1(a)=0,f(n(a)≠0, 则函数f'(2)/f(x)在z=a点的留数为 (1)1-n (2)n-1 (4) 4.2=∞是f(2)=inz (1)一阶极点 (2)本性奇点 (3)解析点 (4)非孤立奇点 5.r(z)r(1-2) 的成立区域为 SIn 72 (1)全平面; (2)带形区域00 (4)左半平面Re2<1 二、(10分)已知解析函数f(2)在正实轴上的数值为纯虚数,且虚部n(x,y)=-,试求f()
✟ ✠ ✡ ☛ ☞ ✌ ✍ ✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✓ ✤✥✦✧★✔✩✪✫✬✭✮✯✰ ✱✲✳✴✵ (20 ✶) 1. ✷✸✹✸ w = ln(1 + z) ✺✻✼✹✸✛✽✾✿✺❀ (1) arg z ✩❁❂❃❄ (2) arg(1 + z) ✩❁❂❃❄ (3) z ✩❅❂❆❇❈❄ (4) 1 + z ✩❅❂❆❇❈❉ 2. ❊✹✸ f(z) ❋●❍■❏❑ G ▲ ▼◆✛ C ❖ G ▲ P ✶◗❘❙❚❯✛❱❲❖ A ❳ B ✛❨❩✶ Z C f(z)dz (1) ❬❭❪❫❴❵✪✛❛❬❜❝❞❡❢✪❄ (2) ❬❭❪❫❴❢✪✛❛❬❜❝❞❡❵✪❄ (3) ❬❭❪❫❴✮ ❜❝❞❡✤ ❵✪❄ (4) ❬❭❪❫❴✮ ❜❝❞❡✤ ❢✪❉ 3. ❣✹✸ f(z) ❋ z = a ❲▼◆✛ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f(n) (a) 6= 0, ❨ ✹✸ f 0 (z)/f(z) ❋ z = a ❲P❤✸❖ (1) 1 − n ❄ (2) n − 1 ❄ (3) −n ❄ (4) n ❉ 4. z = ∞ ✺ f(z) = 1 sin z P (1) ✒✐❥❝ ❄ (2) ❦ ❃❧❝ ❄ (3) ♠♥❝❄ (4) ♦♣q❧ ❝ ❉ 5. Γ(z)Γ(1 − z) = π sin πz Prs❏❑❖❀ (1) t✉✈❄ (2) ✇①②③ 0 0 ❄ (4) ⑥⑤✉✈ Rez < 1 ❉ ⑦✲(10 ✶) ⑧ ⑨▼◆✹✸ f(z) ❋⑩❶❷❸P ✸✼❖❹❺✸✛❻ ❺❼ v(x, y) = x x 2 + y 2 ✛❽❾ f(z) ❉ 2
c0分将函数m十在2=∞的邻域内展开为幂级数,规定l 四、(40分)计算下列积分 (x2+1)(x2-2 r cos+1) 0<6<丌,且6≠丌/2 x(x2+4) 五、(10分)已知f(t=xcos(osd,试求其拉普拉斯变换的象函数F(p)
❿✲ (20 ✶) ➀✹✸ ln z − 1 z + 1 ❋ z = ∞ P➁❑▲➂➃❖➄➅✸✛➆➇ ln z − 1 z + 1 z=∞ = 0 ❉ ➈✲ (40 ✶) ➉➊➋➌❩ ✶❀ (1) Z ∞ −∞ dx (x 2 + 1)(x 2 − 2x cos θ + 1), 0 < θ < π, ❻ θ 6= π/2. (2) Z ∞ −∞ sin x x(x 2 + 4)dx. ➍✲ (10 ✶) ⑧ ⑨ f(t) = 1 π Z π 0 cos(t cos θ)dθ ✛❽❾✽➎➏➎➐➑➒P➓✹✸ F(p) ❉