复变函数与积分变换试题与答案 1将复数化为三角表示式和指数表示式.(10分) 的三角表示式为:如m 的指数表示式为:√2 2判断lm(-)=1是否为区域?lm()≥0开区域还是闭区域,有界否?(10分) 答:点集{|1m()=}不是区域.因为此点集的每一个点都不是内点,依照区域的定义知其不是区域 平面点集部分有关开区域、闭区域、有界集和无界集的概念,lm()>0为无界的开区域,lm(2)=0为m()>0的边界,故m()≥0为无界的闭区域 3判断下列命题的真假.(10分) (a)若f(z)存在,则f(x)在=处解析;() (b)若z是f()的奇点,则f()在二。处不可导:() (c)若(x,y)和v(x,y)的偏导数存在,则f()=1+i可导.() 4设f(-)=my3+mx2y+x3+ly2)为解析函数,试确定,m,n的值.(10分 =lrv f()为解析函数
复变函数与积分变换试题与答案 1 将复数 i1 i2+− 化为三角表示式和指数表示式. (10 分） 解： 4π i)1arg( ,2|i1| i,1 i1 i2 =−−= −=− +− Q , ∴ i1 i2 +− 的三角表示式为： )] 4π sin(i) 4π [cos(2 −+− ; i1 i2 +− 的指数表示式为： i 4π e2 − . 2 判断 z = 1)( Im 是否为区域？ z ≥ 0)( Im 开区域还是闭区域，有界否？(10 分） 答: 点集 zz = }1)Im(|{ 不是区域. 因为此点集的每一个点都不是内点, 依照区域的定义知其不是区域. 依平面点集部分有关开区域、闭区域、有界集和无界集的概念， z > 0)( Im 为无界的开区域， z = 0)( Im 为 的边界，故 为无界的闭区域. z > 0)( Im z ≥ 0)( Im 3 判断下列命题的真假. (10 分） (a) 若 zf 0 )(' 存在，则 在zf )( z0处解析；（ ） (b) 若 z0是 zf )( 的奇点，则 zf )( 在 z0处不可导；（ ） (c) 若 yxu ),( 和 yxv ),( 的偏导数存在，则 += i)( vuzf 可导.（ ） 4 设 )( )i( 为解析函数，试确定 的值. (10 分） 23 23 +++= lxyxynxmyzf , , nml 解： 设 , , 则 23 += ynxmyu 3 2 += lxyxv nyx x u = 2 ∂ ∂ ， 22 3 nxmy y u += ∂ ∂ , 22 3 lyx x v += ∂ ∂ ， lxy y v = 2 ∂ ∂ . Q zf )( 为解析函数, ∴ ⎩⎨⎧ +−=+= 3 3( ). ;22 22 22 nxmylyx lxynyx ∴ . mln =−== 1 ,3
5计算 a-:+22010分) (二-1+2) 6计算二2+2:(0分) x=+2 7将-)在圆环04k1内展成罗朗级数.(10分) -)3=1=y 0-于=∑n(:-k 8求把角形域00 (2)w=2把上半平面lm(a)>0映照成单位圆|wk1 综上所述:w=
5 计算 ∫ = 2 +− 3 || d)2)(1( e z z z zz .(10 分） 解： ∫ = 2 +− 3 || d)2)(1( e z z z zz = −+ = ∫ = 23 || d 12 e z z z z z 1 2 e 2π i = + ⋅ z z z eπ i 3 2 = . 6 计算 )2(d 1||∫ 3 z = zz +z .(10 分） 解： )2(d 1||∫ 3 z = zz +z ]0 )2( 1 π Res[i2 3 , zz + ⋅= ']' )2( 1 [lim !21 π i2 3 3 0 + ⋅= → zz z z 3 0 )2( 2 π limi + = → z z 4 π i = . 7 将 2 )1( 1 )( zz zf − = 在圆环 z 0)Im( ， （2） i i w + − = ω ω 把上半平面 ω > 0)Im( 映照成单位圆 w < 1|| . 综上所述： iz iz w + − = 2 2
9求f()=1-26()+38(-1)的傅氏变换.(10分) 解因为F[=1,F{(t-t0 FI(]= F[-2F[S()1+3F[8(t-1) =2(e)-2+3cFs 10解微分积分方程1-25m-))-ey)dr=0.10分) 解:方程两边同时实施拉氏变换得像方程
9 求 δ δ tttf −+−= )1('3)(21)( 的傅氏变换. (10 分） 解 因为 F δ t = 1)]([ , F 0 F i 0 e)]([ t tt ω δ − =− δ t)]([ ， 所以 F tf )]([ = F ]1[ -2F δ t)]([ +3F δ t − )]1('[ ω ωδ Fi 2π e32)( − +−= δ t)]('[ 10 解微分积分方程 −−− ∫0 − )(2 = 0d)(e)(sin21 .(10 分） t t tyt y ττ τ 解: 方程两边同时实施拉氏变换得像方程 −− + − )( 1 21 2 sY s s L 0)]([e , 2 ty =∗t 0)( 2 1 )( 1 21 2 = − −− + ∴ − sY s sY s s , 1 32 )1( 23 )( 2 2 2 ++ −= ++− = ss ss s ss sY , ∴ −−= sin3cos2)( ttty . 2π 2ei3)( . i −+= − ω ωωδ