、填空题:(21分)答案 -j+okri 1-i的指数表达式√2e4 k=0,±1, 2.Lm(1+i) Ln2+-1+2knik=0,±1,± 3.解析函数设f(-)在二0处的转动角:Argf(二=0) 4.幂级数∑"的和函数的解析域|=k∞ 5.幂函数、指数函数的映照特点分别是:角形域一角形域_’带形域一角形域 6.若L[f(t)=,则L[f(21+2=e 二、简答题:(18分) 1.叙述复数函数的知识体系(6分)。 答:复数一复导数一积分一级数一留数一共形映照 2.若〓0分别为∫()及g()的m阶及n阶极点,则∫()+g()在二0具有什么性质。 答:f(二)= f(=z),f1(二0)≠0 g1(二),g;(=0) 0为f()+g()的max{mn阶极点。(6分) 3.叙述将单位圆盘|=k1保形映照为单位圆盘|vk1且将=0(=0k1)映照为w=0的分式 线性函数w=e-产生的关键步骤。 答:20→=0,二→∞;(3分)|=}1+wF=1.(3分 三、计算题:(49分) 求∫()=x3+3x2yi的解析域: c=6x(4分) 仅在(0,0)处C一R方程成立(2分) 处处不解析(1分) 2.求f(二)= z2(1-z) 在04-1k<1时的罗朗级数; (二-1)+ (4分)=D(-1)“(x2-1)=∑(-1“m(z-1)2(2分)
一、填空题：（21 分）答案 1． 的指数表达式 − −1 i 3 2 4 2 0, 1, 2, i ki e k π − + π = ±± L ; 2． Ln i (1 ) + = 1 2 2 0, 1, 2, 2 4 Ln i k i k π + + = ±± π L ; 3．解析函数设 f ( )z 在 z0 处的转动角： 0 Argf z ′( ) ; 4．幂级数 0 1 ! n n z n +∞ = ∑ 的和函数的解析域 | | z < ∞ ; 5．幂函数、指数函数的映照特点分别是： 角形域—角形域 ， 带形域—角形域 ； 6．若 L 1 [ ( )] f t S = ， 则 L[ ( f t 2 2)] + = 1 s e S 。 二、简答题：（18 分） 1．叙述复数函数的知识体系（6 分）。 答： 复数—复导数—积分—级数—留数—共形映照 2．若 z0 分别为 f ( )z 及 的 阶及 阶极点，则 g z( ) m n f () () z gz + 在 具有什么性质。 0 z 答： 1 10 0 1 ( ) ( ), ( ) 0 ( )m fz f z f z z z = ≠ − ， 1 10 0 1 ( ) ( ), ( ) 0 ( )n gz g z g z z z = ≠ − z0 为 f () () z gz + 的 max , {m n} 阶极点。（6 分） 3．叙述将单位圆盘| | z <1保形映照为单位圆盘| | w <1且将 0 0 z z (| | 1) < 映照为 的分式 线性函数 w = 0 0 0 1 i z z w e z z θ − = − 产生的关键步骤。 答： z w 0 → = 0 ， 0 1 z → ∞ ;（3 分） | | z w = 1 | |1 → = .（3 分） 三、计算题：（49 分） 1． 求 3 2 f () 3 z x xy = + i 的解析域； 解： 2 3 , u v x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 u y ∂ = ∂ ， 6 v xy x ∂ = ∂ （4 分） ∴仅在（0，0）处 C—R 方程成立（2 分） ∴处处不解析（1 分） 2． 求 2 1 ( ) (1 ) f z z z = − 在0 | < −< z 1| 1时的罗朗级数； 解： 2 11 1 () [ ] zz z( 1) 1 = − =− ′ ′ − + （4 分） 1 1 0 0 [ ( 1) ( 1) ] ( 1) ( 1) nn n n n z n +∞ +∞ n 1 z + + = = = − − =− − ∑ ∑′ − （2 分） 1
f()=∑(-1ym(z-1)(1分) 3.求积分I=zd,C为沿单位圆(=|=1)的逆时针一周的曲线 解:z=re=e(2分) =[ee.idb=2zi(5分) 4.求积分I= dz 2(22+1)(二-1) 解:I= dz(3分) 4(2=+1)(z-1) 0(2分,2分) 2z+1 5.求积分I=[ ctan -d, 解:I=2i{Res[f,0]}=2i 41(3分,3分,1分) -cOS- 6、求函数f(m)的傅里叶变换。 解:F()=--F[f()=i·[io·F(o)=-F()-F(O)(3分,3分,1分) 7.求函数 te sin Bt的拉普拉斯变换。 A: I[te- sin Bt=I[tSin Bt]s=-(L[sin Bt] 2B(s+a) s"+B (s+a)+β )y=a(2分2分,2分,1分) 四、证明及解方程(12分) 1.证明:[cosa]=[(+0)+(0-a)。 证:∵P[o(o+0)+b(0- d(o+Oo)e do+ 6(0-)edo cosO0(2分,2分,2分) 等式成立 2.解方程:y"+y=1,y(0)=y(0)=y"(0)=0。 解:sY(s)+y(s)=1 2(s2+1) y(1)=t-sint(2分,2分,2分)
2 ( ) ( 1) ( 1) n f z nz + 2 ∴ =− − ∑ （1 分） 3． 求积分 , C I = zdz ∫ C 为沿单位圆(| z | 1) = 的逆时针一周的曲线。 解： i z re e θ iθ = = （2 分） 2 0 2 i i I e e id i π θ θ θ π − = ⋅= ∫ （5 分） 4． 求积分 || 2 1 (2 1)( 1) z I dz z z = = + − ∫ 。 解： 1 1 (2 1)( 1) c I dz z z = + − ∫ （3 分） 1 1 2 1 1 11 | | 2 1 2 1 33 z z z z = =− = + =− + − = 0（2 分, 2 分） 5．求积分 ||1 π ctan , z 2 I zdz = = ∫ 解： 0 cos 2 2 {Re [ ,0]} 2 | 4 cos 2 2 z z I i sf i z i π π π π π = = = = （3 分,3 分,1 分） 6、求函数 的傅里叶变换。 tf t '( ) 解：F 1 tf t '( ) i = − F[ ' ft ii F F F ( )] [ ( )] ( ) ( ) ′ ′ = ⋅ ⋅ =− − ω ω ωω ω （3 分,3 分,1 分） 7．求函数 sin at te t β − 的拉普拉斯变换。 解：L[ sin ] L[ s at te t β − = in ]s s a t t β = + = −{ L[sin ]}s s a βt = + 2 2 2 2 2( ) () ) ( ) s s a ssa s a s s a β β β β = + = + + = − ′ = + ++ ′ 0 （2 分,2 分, 2 分,1 分） 四、证明及解方程（12 分） 1． 证明：F 0 0 [cos ] [ ( ) ( )] ω t = ++ − πδω ω δω ω 。 证： QF-1 0 0 0 0 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 i t i t e d e d ω ω δ ω ω δω ω δω ω ω δω ω ω π π +∞ +∞ −∞ −∞ ++ − = + + − ∫ ∫ 0 0 0 1 11 cos 2 2 it it e e ω ω ω t π ππ − = += （2 分,2 分, 2 分） ∴ 等式成立 2．解方程： yy y y y ′′′ ′ += = = = 1 , (0) (0) (0) 0 ′ ′′ 。 解： 3 1 s Y s sY s () () s + = 22 2 2 1 11 ( ) ( 1) Y s ss s s = =− + +1 yt t t ( ) sin = − （2 分,2 分, 2 分） 2