复变函数与积分变换试题与答案 、填空题(每题4分,共20分) esmn二 d 3、幂级数 "的收敛半径 Res=-sin2 5、设f(1)= ,,则付氏变换f() 单项选择题(每题4分,共20分) 1、二=1是函数∫(二)=cos,的 A.极点 本性奇点 C可去奇点,D一级零点【】 2、函数f(-)= 在复平面上的所有有限奇点处留数的和 (x2+1)(x4+2)3 3、设C为正向圆周|二F=2,则积分 thle'sin=+ (-1)等于 B.24丌i, C.0, D.12i 4、设∫(-)=-sin-2,则ReSU(),0]为 B.2 D.2i。 5、设f(=)=esin2t,则拉氏变换CL∫()为
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1、 4 1+ =i 2、 2 5 |z|=1 sin d ( 2) z e z z z = − ∫ 3、幂级数 n n n z n ∑ ∞ = + 1 5 2 5 的收敛半径 4、 6 sin Re [ ,0] z z s z − ＝ 5、设 ，则付氏变换F[ 1, | | 1; ( ) 0, | | 1, t f t t ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > f t( )] ___________ = 二、单项选择题（每题 4 分，共 20 分） 1、 是函数 z =1 1 ( ) cos 1 f z z = − 的 A． 极点， B.本性奇点， C.可去奇点， D.一级零点 【 】 2、 函数 ( ) 15 2 24 ( 1) ( 2) z f z z z = + + 3 在复平面上的所有有限奇点处留数的和： A. 1 B. 4 C. －1 D. 2 【 】 3、设 C 为正向圆周| | z = 2 ，则积分 4 3 [ sin ]d ( 1) z C z z e z z + + − ∫ z 等于 A．24， B．24πi ， C.0， D. 12πi 【 】 4、设 2 1 1 fz z ( ) sin z z = − ，则 Res[ ( ),0] f z 为. A．1， B．2， C．0， D．2πi 。 【 】 5、设 3 ( ) sin 2 t f z e− = t ，则拉氏变换L[ ( f z)]为 1
(s+3)+4’B 4(S+3) (s+3)2+4 三、解答下列各题(1-2每小题6分,3-6每小题7分,共40分) 1、设a,b是实数,函数∫(x)=xy+(ax2+by2)在复平面解析,求a,b。 2、映射m=三+把圆周C1=1变成什么曲线?写出曲线的方程。 3、求积分5,其中C==2
A． 2 2 ( 3) 4 s + + ， B. 2 2( 3) [( 3) 4] s s + + + 2 ， C. 2 2 s + 4 ，D. 2 4( 3) [( 3) 4] s s 2 + + + 。 【 】 三、解答下列各题（1-2 每小题 6 分，3-6 每小题 7 分，共 40 分） 1、设 是实数，函数 , ba ++= 22 )()( ibyaxxyzf 在复平面解析，求 。, ba 2、映射 z z w +1 = 把圆周 zC = 1||: 变成什么曲线？写出曲线的方程。 3、求积分 dz z z C ∫ +1 sin 2 ，其中 zC = 2||: 。 2
4求积分0中(=2,其中c差 、求函数f()=e-+b(1)的 Fourier变换。 6、求函数f(t)=tsin2t的 Laplace变换
4、求积分 10 1 ( ) ( 2) C dz zi z + − ∫ ，其中 3 :| | 2 C z = 。 5、求函数 − t|| += δ tetf )()( 的 Fourier 变换。 6、求函数 = 2sin)( tttf 的 Laplace 变换。 3
四、解答下列各题(1、3每小题7分,2小题6分,共20分) 1、将函数f()= 在圆环域14z+1k+展开成 Laurent级数。 2、求一个函数w=f(x),使得它把上半单位圆盘{=:|-k0}共形地映射 成上半平面{w:Im(1)>0}。 3、用 Laplace变换解微分方程的初值问题 3x′-4x 1,x(0)=0,x(0)=1
四、解答下列各题（1、3 每小题 7 分，2 小题 6 分，共 20 分） 1、将函数 )1( 1 )( + = zz zf 在圆环域 }0)Im(,1||:{ 共形地映射 成上半平面 ww > }0)Im(:{ 。 3、用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 3 4 t x x xe− ′′ ′ − −= +1， x = 0)0( ， x′(0) 1 = 。 4
答案 、填空题(每题4分,共20分) 3、幂级数S+5 n的收敛半径 - sin 4、Res 0 5、设/010.11,则付氏变换(=-2sm tk≤1 二、单项选择题(每题4分,共20分) 二=1是函数∫(=)=cos—的 极点, B本性奇点 C可去奇点,D.一级零点【B】 2、函数f(-)=2 在复平面上的所有有限奇点处留数的和 (2+1)(=4+2) B.4 【A】 3、设C为正向圆周|=2,则积分血esm+三H等于 B.24丌i C.0 D.12 4、设∫()=--zsin-2,则ReU(=)0]为 5、设∫(-)=e"sin2t,则拉氏变换C[f(=)为
答案 一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1、 4 1+ =i 1 ( ) 8 16 2 2 k i e + π 2、 2 5 |z|=1 sin d ( 2) z e z z z = − ∫ 0 3、幂级数 n n n z n ∑ ∞ = + 1 5 2 5 的收敛半径 2 4、 6 sin Re [ ,0] z z s z − ＝ 1 120 − 5、设 ，则付氏变换F 1, | | 1; ( ) 0, | | 1, t f t t ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > 2sin [ ( )] f t ω ω = − 二、单项选择题（每题 4 分，共 20 分） 1、 是函数 z =1 1 ( ) cos 1 f z z = − 的 B． 极点， B.本性奇点， C.可去奇点， D.一级零点 【 B 】 2、 函数 ( ) 15 2 24 ( 1) ( 2) z f z z z = + + 3 在复平面上的所有有限奇点处留数的和： A. 1 B. 4 C. －1 D. 2 【 A 】 3、设 C 为正向圆周| | z = 2 ，则积分 4 3 [ sin ]d ( 1) z C z z e z z + + − ∫ z 等于 A．24， B．24πi ， C.0， D. 12πi 【 D 】 4、设 2 1 1 fz z ( ) sin z z = − ，则 Res[ ( ),0] f z 为. A．1， B．2， C．0， D．2πi 。 【 C 】 5、设 3 ( ) sin 2 t f z e− = t ，则拉氏变换L[ ( f z)]为 5
4(S+3) (s+3)2+4 三、解答下列各题(1-2每小题6分,3-6每小题7分,共40分) 3、设a,b是实数,函数∫()=x+(ax2+by2)在复平面解析,求a,b。 av 2by 4、映射=三把圆周C|=1变成什么曲线?写出曲线的方程 答:变成圆 又= 曲线方程:-1=1 sIn 5、求积分 ,其中C:|z}=2。 原式=2n[Res sln二 sin二 i+Res( =2n
A． 2 2 ( 3) 4 s + + ， B. 2 2( 3) [( 3) 4] s s + + + 2 ， C. 2 2 s + 4 ，D. 2 4( 3) [( 3) 4] s s 2 + + + 。 【 A 】 三、解答下列各题（1-2 每小题 6 分，3-6 每小题 7 分，共 40 分） 3、设 是实数，函数 , ba ++= 22 )()( ibyaxxyzf 在复平面解析，求 。, ba 解： 2 , 2 , 1 1 , . 2 2 u v y by x y u v x ax y x a b ∂ ∂ == = ∂ ∂ ∂ ∂ = = =− ∂ ∂ ∴ =− = Q 4、映射 z z w +1 = 把圆周 zC = 1||: 变成什么曲线？写出曲线的方程。 答：变成圆 1 1 1 ||1 | | z w z z w z w + = ∴ = − = ∴ Q 又 曲线方程：－1＝1. 5、求积分 dz z z C ∫ +1 sin 2 ，其中 zC = 2||: 。 解： 2 2 sin sin 2 [ ( , ) ( , )] 1 1 sin sin( ) 2 [ ] 2 () 2 sin . z z i Res i Res i z z i i i i i i π π π = +− + + − = + − = 原式 6
4、求积分 z+i)°(z-2) 其中 解: 原式 5、求函数f(t)=e-+o(1)的 Fourier变换。 解: FI(O]=e'leiodt+ e-le-odt+ 8(0)eedr 6、求函数f()=tsin2t的 Laplace变换 解 L[f(1)]=-I[-sin21]=-{Lsin2l]}
4、求积分 10 1 ( ) ( 2) C dz zi z + − ∫ ，其中 3 :| | 2 C z = 。 解： 10 (9) 10 1 2 ( ) 2 1 ( ) 9! 2 2 . (2 ) c z i z dz z i i z i i π π =− − + = ⋅ − = − + 原式＝∫ 5、求函数 − t|| += δ tetf )()( 的 Fourier 变换。 解： 0 0 2 2 F[ ( )] ( ) 1 1 1 1 1 3 . 1 t it t it i t f t e e dt e e dt t e dt i i ωω ω δ ω ω ω ω +∞ +∞ − − − − −∞ −∞ =+ + =++ − + + = + ∫∫ ∫ 6、求函数 = 2sin)( tttf 的 Laplace 变换。 解： 2 2 2 L[ ( )] L[ sin 2 ] {L[sin 2 ]} 2 = ( ) 4 4 . ( 4) ft t t t s s s =− − =− ′ − ′ + + ＝ 7
四、解答下列各题(1、3每小题7分,2小题6分,共20分) 1、将函数f()= 在圆环域10}共形地映 射成上半平面{w:Im(w)>0} 解:函数O=二将上半单位圆盘映照为第一象限 =a2将第一象限映照为上半平面 故w=()2将上半单位圆盘映照为上半平面 3、用 Laplace变换解微分方程的初值问题 x"-3x-4x=e-+1,x(0)=0,x'(0)=1 解:方程两边同时施加 Laplace变换得:
四、解答下列各题（1、3 每小题 7 分，2 小题 6 分，共 20 分） 1、将函数 )1( 1 )( + = zz zf 在圆环域 }0)Im(,1||:{ 共形地映 射成上半平面 ww > }0)Im(:{ 。 解： 函数 1 1 z z ω + = − 将上半单位圆盘映照为第一象限 2 w=ω 将第一象限映照为上半平面 故 1 2 ( ) 1 z w z + = − 将上半单位圆盘映照为上半平面 3、用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 3 4 t x x xe− ′′ ′ − −= +1， x = 0)0( ， x′(0) 1 = 。 解：方程两边同时施加 Laplace 变换得： 8
X(s)-sx(0)-x(0)-3(sX(s)-x(O)-4X( X(s) 9s+1)29(s+1)36(s-4)4 4
2 2 4 1 1 ( ) (0) (0) 3( ( ) (0)) 4 ( ) 1 1 1 1 5 4 25 1 ( ) ( ) 1)( 4) 1 9 1) 9 1 36 4 5 4 25 1 ( ) . 9 9 36 4 tt t s X s sx x sX s x X s s s X s ss s s s s s s x t te e e −− − − −− − − =+ ′ + ∴ + = + +− + + + ∴ = + Q ＝ － （ （ （ ） （ －4） － － － 9