复变函数与积分变换试题与答案 、判断题(每题3分,共12分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”) 1、Ln()在其定义域内解析。 2、解析函数f()=(x,y)+n(x,y)的(x,y)与{x,y)互为共轭调和函数。() 3、如果二0是f()的奇点,则f()在不可导。 4、函数八()在0处的转动角与二0所在曲线C的形状及方向无关。 填空题(每题3分,共15分) 1、-1-i3的指数表达式为 2、1+2z+3z2+…+nm+…的和函数的解析域是: 3、z=0是=,的级极点, ,0 4、在映照∫(=)=2下,曲线C在z=1处的伸缩率是 5、设FU(2)=1则FW2)= B+io 计算(每题7分,共28分) 1、求z2-2i=0的全部根 CoS (积分曲线取正向) 3 (积分曲线取正向) 应用留数的相关定理计算: (积分曲线取正向) °(二-1)( 四、解答题(每题8分,共24分) 1、求以u(,y)=-2x2+2)为虚部的解析函数(),使/0)=0 2、将函数()=_y在圆环0<-1<1内展成罗朗级数
复变函数与积分变换试题与答案 一、判断题（每题 3 分，共 12 分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、 在其定义域内解析。 Ln( )z （ ） 2、解析函数 () ( )+= ( ,, yxivyxuzf )的 ( , yxu )与 ( , yxv )互为共轭调和函数。 ( ) 3、如果 是 的奇点，则 0 z ( )zf (zf )在 不可导。 z0 （ ） 4、函数 在 处的转动角与 所在曲线 ( )zf z0 z0 C 的形状及方向无关。 （ ） 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、 −− i 31 的指数表达式为 2、 的和函数的解析域是： 2 1 12 3 n z z nz − + + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ 3、 是 z = 0 2 1 z ez − 的 级极点， ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 1 2 ,Re z e s z 4、在映照 下，曲线 ( ) = zzf 2 C 在 = iz 处的伸缩率是 5、设 F ( ) 1 [ ] f z β iω = + 则 F [f(t-2)]= 三、计算（每题 7 分，共 28 分） 1、求 的全部根 02 2 iz =− 2、∫ =1 3 z dz z cos z （积分曲线取正向） 3、 ( ) ∫ z =2 zz −1 dz （积分曲线取正向） 4、应用留数的相关定理计算：∫ =2 −− 6 31 || ))(( z zzz dz （积分曲线取正向） 四、解答题（每题 8 分，共 24 分） 1、求以 ( ) 2 2 2 1 2 1 , +−= yxyxv 为虚部的解析函数 (zf )，使 f ( ) = 00 2、将函数 ( )2 1 1 zz zf − )( = 在圆环 z <−< 110 内展成罗朗级数
3、求把上半平面Im()>0映照成单位圆|<1的分式线性函数,并使f=0, f-1)=1 五、解答题(每题7分,共21分) 1、设F(a)=丌i·b(a-o0)-6(+0),求其像原函数f() 2、利用拉氏变换的性质求L[cos3t·e2 3、解微积分方程:y(0)-y()dr=1,y(0)=0 答案 、判断题(每题3分,共12分) 二、填空题(每题3分,共15分) 2:|<1。3:1;1。4:2 +I 计算题(每题7分,共28分) l、解:原式→z2=2i→z2=(2)2(2分) =(2e2)2=√2e4(k=0,1)(3分) 单根:√2em4;√2ei 5ri/4 (2分) Cos 2、解 dz= (5分)=-i (2分) d de(3分) 1) dz(1分)=2i-2i(2分)=0(1分) 4、解:原式=2x∑Res 0 (1分) z3(z-1)(x-3) 2π∑Re z3(2-1)(-3)
3、求把上半平面Im( 映照成单位圆| | 的分式线性函数，并使 f(i)=0， f(-1)=1。 z) 0 ＞ w ＜1 五、 解答题（每题 7 分，共 21 分） 1、设 )]()([)(ω π δ ω ω0 −− δ ω +ω0 = iF ⋅ ，求其像原函数 tf )( 2、利用拉氏变换的性质求 L [ 2 cos3 t t e⋅ ] 3、解微积分方程： 00 1 。 0 − == ∫ yty y )(,d)()(' t ττ 答 案 一、判断题（每题 3 分，共 12 分） 1：×；2：×；3：×；4：√ 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1：2e i π− / 32 。2： z < 1。3：1；1。4：2。5： ω+β ω− i e 2i 1 三、计算题（每题 7 分，共 28 分） ( ) ( ) ( ) ( ) （ 分） 、解：原式 分） 2 2 310 1 2 22 41 21 22 2 21 21 , ( / / / / / = = = =⇒=⇒ π+π π+ e ke iziz iki ik 单根： 4 45 22 / / ; i i ee π π (2 分) 2、解： ( ) 5分） （2分） 2 2 0 1 3 z i i dz z z z z ′′ π−= π = = ∫ = sco ( ! cos ( ) （ 分） （ 分） （ 分） 、 （ 分） 102221 1 1 1 3 1 1 1 1 3 2 2 2 2 − =π−π= − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − ∫∫ ∫∫ = = = = dz ii z dz z dz zz zz dz z z z z 4、解：原式= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− π ∑= k k z zzz si , ))(( Re 31 1 2 3 2 1 0 z1 = 1 z2 = （1 分） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− π−= ∑= k k z zzz si , ))(( Re 31 1 2 3 4 3 z3 = 3 z4 = ∞ （1 分）
R (2分) z3(z-1)(x-3) 0=0(2分) 3(z-1)(z-3) JI X (1分) 四、解答题(每题8分,共24分) 解:∵f()=1+m,=V,+,(2分)=y-x=(x+)=-1=(2分) ()=(k(分)=-h=-2 (1分) 0→c=0 (2分)=∑(-(-y(=-1<)(4分) ∑(-my(-y (1分 二(1-)2(=-1)2 1)(z-1 0<z-1k<1) (1分 3、解:设O=e (3分) f(-1)=1 (3分) (2分) 五、解答题(每题7分,共21分) ()=F(o)=[F(o)ho(2分) =6o-0)-0+0)do(2分) =e-e-](2分)=- sin oot (1分)
23 1 3 31 1 3 3 × ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− , ))(( Re zzz s （2 分） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ −− ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ −− 0 1 3 1 1 11 1 31 1 2 6 3 , ))(( Re, ))(( Re z z zz s zzz s =0 (2 分) ∴原式= 23 1 2 3 × i ×π− = i 3 3 π − （1 分） 四、解答题（每题 8 分，共 24 分） 1、 解： ( ) ivvivuzf ( ) ziiyxiixy Q ′ +=+= xyxx （2分）= − = − + = − （2 分） () () c zi ∴ = ′ dzzfzf zdzi +−=−= ∫ ∫ 2 1 2 （ 分） （1 分） 由 f ( ) 00 c =⇒= 0 （1 分） 得 ( ) 2 2 zi zf −= （1 分） 2、解： 2 ( )( ) 11 ( 11 11 11 0 −−= <− −+ = ∑ ∞ = z z zz n n n Q （ 分） ) （4 分） ( ) ( ) ( ) ∑( )( ) ∞ = −− − = − ∴ = 0 2 2 11 1 1 1 1 n n n z zzz zf （1 分） ( )( ) 11 ( 110 0 2 ∑ −−= <−< ∞ = − z z n n n ) （1 分） 3、解：设 iz iz ei + − =ω θ （3 分） Q f )( =− 11 即 ie i i ei i −=⇒ − + − − = θ θ 1 1 1 （3 分） ∴ iz iz e iz izi i + − = + − −=ω π − 2 （2 分） 五、解答题（每题 7 分，共 21 分） [ ] （ 分） 、 （ 分） 2 2 2 2 1 1 0 0 1 ∫ ∫ ∞+ ∞− ω +∞ ∞− − ω ωω+ωδ−ω−ωδ= ωω π =ω= de i Ftf deF ti ti )}()({ )(F)( )( [ ] ee t i titi 2 0 2 0 −= 0 ω−= ω−ω （ 分） sin （1 分）
Cos (3分) Leos3t·e (s-2)2+ Y 3分)Y(s) y(1)=-(e-e-) (2分)
2、 [ ] 9 3 2 + = s s Q cosL t （3 分） [ ] 92 2 3 2 2 +− − ∴ =⋅ )( cosL s s et t （4 分） 3、 s sY s sY 11 Q (s) )( =− （3 分） )( ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 + − − = − = s ss sY （2 分） t t tt e e eety 2 1 2 1 2 − ∴ =−= − )()( （2 分）