复变函数与积分变换试题与答案 判断正确与错误(每题3分) 1.若v(x,y)与v(x,y)都是调和函数,则f(x)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。 2.因为 Isin zs1,所以在复平面上sinz有界。 3.若∫(z)在二解析,则/(z)也在二解析。 4.对任意的z,Lnx2=2Lnz 二填空(每题3分) 2.ln(-31) 3.在映照∫(x)=2x2+4下,曲线C在z=i处的伸缩率 ,旋转角是 4.z=0是的 阶极点, Resl
复变函数与积分变换试题与答案 一 判断正确与错误（每题 3 分） 1．若 与 uxy (, ) vxy (, )都是调和函数，则 f () (, ) i(, ) z uxy vxy = + 是解析函数。 （ ） 2．因为| sin | 1 z ≤ ，所以在复平面上sin z有界。 （ ） 3．若 f ( )z 在 解析，则 0 z ( ) ( ) n f z 也在 解析。 z0 （ ） 4．对任意的 z ，Ln 2 Ln z 2 = z （ ） 二 填空（每题 3 分） 1． i 2 2i = − − ， i arg 2 2i = − − 。 2．ln( 3i) − = ， i i = 。 3. 在映照 2 f () 2 4 z z = + z 下，曲线 C 在 z = i 处的伸缩率 是 ，旋转角是 。 4. z = 0 是 2 4 1 e z z − 的 阶极点， 2 4 1 Re [ ,0] z e s z − =
三解答题(每题7分) 1.设f(x)=x2+ay+by2-(cx2+dy+y2)。问常数a,b,c,d为何值时f()在 复平面上处处解析?并求这时的导数 2.求(-1)的所有三次方根。 3.「[=2d=其中C是=0到=3+4i的直线段
三 解答题（每题 7 分） 1. 设 2 22 ( ) i( ) 2 f z x axy by cx dxy y =+ + − + + 。问常数abcd ,,, 为何值时 f ( )z 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 2. 求 1 3 ( 1) − 的所有三次方根。 3． 2 d C z z ∫ 其中C 是 到 z = 0 z = 3 4i + 的直线段
4.「2ecd=。(积分曲线指正向) 5 d (积分曲线指正向) (二+1)(二-3) 6将()==-1k=21在14k2上展开成罗明级数
4． 。(积分曲线指正向) || 2 e cos d z z z z ∫ = 5． || 2 d ( 1)( 3) z z zz z = + − ∫ 。(积分曲线指正向) 6 将 1 ( ) ( 1)( 2 f z z z = − − ) 在1 | < < z | 2上展开成罗朗级数
7.求将单位圆内|zk1保形映照到单位圆内|vk1且满足f()=0, argf()=2的分式线性映照。 四解答题(1,2,3题各6分,4题各9分) t<0 1.求f()=1。t≥0 (k为正实数)的傅氏变换 2.设f()=12+te-+esin6+(1),求f(1)的拉氏变换
7.求将单位圆内| | z <1 保形映照到单位圆内| | w <1 且满足 1 () 0 2 f = ， 1 π arg ( ) 2 2 f ′ = 的分式线性映照。 四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题各 9 分） 1．求 （k 为正实数）的傅氏变换。 0 0 ( ) e 0 kt t f t t − ⎧ < = ⎨ ⎩ ≥ 2. 设 2 2 ( ) e e sin 6 ( ) t t f ttt t t δ − =+ + + , 求 f ( )t 的拉氏变换
3.设F(s)= 求F(s)的逆变换 S(s-+ 1) 4.应用拉氏变换求解微分方程 y"+2y-3y y(0)=0,y(0)=1
3. 设 2 2 1 ( ) ( 1 F s s s = + ) ，求F s( )的逆变换。 4. 应用拉氏变换求解微分方程 23e (0) 0, (0) 1 t y yy y y − ⎧ ′′ ′ + −= ⎨ = = ′ ⎩
复变函数与积分变换试题答案 判断正确与错误(每题3分) 1若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数,则f(x)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。(×) 2.因为|sinz1,所以在复平面上sinz有界 (×) 3.若∫(-)在解析,则f(-)也在〓解析 (√) 对任意的z,Lnz2=2Lnz (×) 二填空(每题3分) √2 -2-2i4 arg[- -23。2.lm(-31)=ln3-1,P=e2 3在映照f(x)=2x2+4下,曲线C在=i处的伸缩率是42,旋转角是 4.二=0是的3阶极点,Res[-,0J 三解答题(每题7分) 4.设f(z)=x2+ay+by2-icx2+dy+y2)。问常数a,b,c,d为何值时f(x)在 复平面上处处解析?并求这时的导数。 9=m+2,B2+小+y2分则 解:因为a=2x+ay, 对任意的(xy有(即{2四二+2(1分)可得 ay ax a=d=2,b=c=-1 分) f'(二) 2(x+y)-2(x-y)或2z-21(2分) 5.求(-1)5的所有三次方根 2k+1 2k+1 解:(-1)3=cos=π+isin I k=0, 1, 2(4),wo=cos +isir √3 w,=COs T+isinT-l, M2=cos+isin_I (3分) 3.=d=其中C是=0到=3+4i的直线段
复变函数与积分变换试题答案 一 判断正确与错误（每题 3 分） 1 若 与 都是调和函数，则 uxy (, ) vxy (, ) f () (, ) i(, ) z uxy vxy = + 是解析函数。（×） 2．因为| sin | 1 z ≤ ，所以在复平面上sin z 有界。 （×） 3．若 f ( )z 在 解析，则 0 z ( ) ( ) n f z 也在 解析。 （√） 0 z 4．对任意的 ， （×） z 2 Ln 2 Ln z = z 二 填空（每题 3 分） 1． i 2 2 2i 4 = − − ， i π arg[ ] 2 2i 4 3 = − − − 。 2． π ln( 3i) ln 3 i 2 − = − , π 2 π i 2 i e− − k = 。 3.在映照 2 f () 2 4 z z = + z下，曲线C 在 z = i 处的伸缩率是4 2 ，旋转角是 π 4 。 4. z = 0是 2 4 1 e z z − 的3阶极点， 2 4 1e 4 Re [ ,0] 3 z s z − = − 。 三 解答题（每题 7 分） 4. 设 2 22 ( ) i( ) 2 f z x axy by cx dxy y =+ + − + + 。问常数abcd ,,, 为何值时 f ( )z 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 解: 因为 2 u x ay x ∂ = + ∂ , 2 u ax by y ∂ = + ∂ , 2 v cx dy x ∂ = + ∂ , 2 v dx y y ∂ = + ∂ ,(2 分)则 对任意的(, ) x y 有 u v x y u v y x ⎧∂ ∂ = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ = − ⎪⎩∂ ∂ 即 2 2 2 x ay dx y 2 ax by cx dy ⎧ +=+ ⎨ ⎩ + =− − (1 分) 可得: ad bc = = = =− 2, 1 (2 分 ). 这 时 , ( ) i 2( ) 2i( ) 2 2i u v f z x y x y z z x x ∂ ∂ ′ = + = +− − − ∂ ∂ 或 (2 分) 5. 求 1 3 ( 1) − 的所有三次方根。 解: 1 3 2 +1 2 +1 ( 1) cos π+isin π 0,1, 2 3 3 k k − = k = (4 分), 0 π π 1 3 cos +isin = +i 3 32 2 w = , 1 w = − cos π+isinπ = 1, 2 5π 5π 1 cos +isin = i 3 32 2 w = − 3 (3 分) 3． 2 d C z z ∫ 其中C 是 到 z = 0 z = 3 4i + 的直线段
解原式==+=3 2分(3+4i)3 (2分)或 原式￥(+dx=(+=90+(2分) 4. Ju sei cos ed:。(积分曲线指正向) 解:原式=0.(7分) d (积分曲线指正向) 二(二+1)(二-3) 解:原式=2ri{Res[/,0]+ReS,-1]}(3分) lilim lim (2分 6将f()= 在14zk2上展开成罗朗级数 (二-1)(二-2) 解:原式 1分) ](3+3分) 7.求将单位圆内|k1保形映照到单位圆内|k1且满足f(-)=0, ag/()=的分式线性映照。 解:设W=f(x)=e-2 (4分),则f()=e4→B=x(2分),故 四解答题(1,2,3题各6分,4题9分) 求 0t<0 f(t)= (k为正实数)的傅氏变换 t≥0 解:F(O)=[eed(2分) -(k+io) k+io k+io 设f()=t2+te-+e'sin6t+6(1),求f()的拉氏变换 6 解:F(s)= (s+1)2(s-2)2+36 +1(1,2,2,1分) 6.设F(s)= 求F(s)的逆变换。 解:LF()=L1-1t2-1]=1-smt(2325分) 4.应用拉氏变换求解微分方程
解: 原式 3 3 3 2 2 3 4i 3 4i 0 0 (3 4i) [ d ] [ ] (2 3 3 z z z + + + = == ∫ 分 分 分)或 原式 3 4 1 3 2 3 33 3 0 0 44 4 (1 i) d (1 i) [ ] 9(1 i) (2 3 33 3 x = + =+ = + x x ∫ 分 分 分) 4． 。(积分曲线指正向) || 2 e cos d z z z z ∫ = 解:原式=0. (7 分) 5． || 2 d ( 1)( 3) z z zz z = + − ∫ 。(积分曲线指正向) { } (2 0 1 2πi Res[ ,0] Res[ , 1] (3 1 1 πi 2πi[lim lim ] (2 z z ( 1)( 3) ( 3) 6 f f → → z z zz − = +− + = − +− − 分) 解: 原式 分) = 分) 6 将 1 ( ) ( 1)( 2 f z z z = − − ) 在1 | < < z | 2上展开成罗朗级数。 1 1 0 1 1 1 (1 ] (3 3 21 2 n n n n z z z z ∞ + + = = − + + − − 解: 原式 分)=-∑ 分) 7.求将单位圆内| | z <1 保形映照到单位圆内| | w <1 且满足 1 () 0 2 f = ， 1 π arg ( ) 2 2 f ′ = 的分式线性映照。 i 1 2 ( ) e (4 1 1 2 z w fz z θ − = = − 解: 设 分) , 则 1 4 i π ( ) e (2 23 2 f θ ′ = ⇒= θ 分) , 故 2 1 i (2 2 z w z − = − 分). 四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题 9 分） 1．求 （k 为正实数）的傅氏变换。 0 0 ( ) e 0 kt t f t t − ⎧ < = ⎨ ⎩ ≥ i ( i ) 0 0 1 1 ( ) e e d (2 [e ] i i kt t k t F t k k ω ω ω ω ω +∞ − − − − + +∞ = = = + + 解: ∫ 分) . 3. 设 2 2 ( ) e e sin 6 ( ) t t f ttt t t δ − =+ + + , 求 f ( )t 的拉氏变换。 32 2 11 6 ( ) 1 (1,2,2,1 ) ( 1) ( 2) 36 F s ss s =+ + + + −+ 解: 分 6. 设 2 2 1 ( ) ( 1 F s s s = + ) ，求F s( )的逆变换。 (1 ) 2 2 1 1 [ ( )] [ ] [ ] sin (2.5,2.5 ) 1 F s t t s s = − =− − 分 解: L L L -1 -1 -1 分 4. 应用拉氏变换求解微分方程
(0)=0,y(0)=1 解:因为s2Y(s)-sy(0)-y(0)+2[s(s)-y(0-2Y(s) (3分)所以 s+1 Y(s)= (2分) (S-1)(s+1)(s+3)8(s-1)4(s+1)8(s+3) (2分)或y()=cht+=sht (2分)
23e (0) 0, (0) 1 t y yy y y − ⎧ ′′ ′ + −= ⎨ = = ′ ⎩ 2 1 ( ) (0) (0) 2[ ( ) (0)] 2 ( ) , (3 ) 1 s Y s sy y sY s y Y s s −−+ −− = ′ + 解: 因为 分 所以 (2 ) 2 311 ( ) (2 ) ( 1)( 1)( 3) 8( 1) 4( 1) 8( 3) s Y s sss s s s + = = − − −++ − + + 分 分 31 1 3 3 1 5 1 ( ) e e e (2 ) ( ) ch sh e (2 ) 84 8 8 8 8 tt t t y t yt t t − − − =− − 分 或 = + − 分