教学内容释疑解难 第8章 1.若F1(S)=L[f1()],F2(s)=L[f2(1),则 L[f1()*f2()=F1(s)F2(s) 证:∵【0) (b)L[f(at-b)(at-b)=-F(-)ea(a>0,b>0) 并由此性质计算Lsin(ot+q)(ot+)(o>0,<0) E:(a):L[G]= fGedt=l bfG)e b d() =bF(sb) L[F(b)=f() (b)I[(at-b)u(at-b)]=b f(at-b)e-dt lb - f(at-b)e a e a d(at-b
教学内容释疑解难 第 8 章 1. 若 )( = L ， L ，则 1 sF )]([ 1 tf 2 sF )( = )]([ 2 tf L )()()]()([ . 1 2 21 =∗ sFsFtftf 证： Q 时， t b t f b bsF ; (b) L )0 ,0( e)( 1 )]()([ =−− >> − ba a s F a batubatf s a b . 并由此性质计算 L ω ϕ ωtut ++ ϕ ω > ϕ < )0 ,0( )]()[sin( . 证：(a) Q L )d(e)(de)()]([ 0 0 b t b t bft b t f b t f b t sb st ∞+ − − ∞+ ∫ ∫ = = = sbbF )( , ∴ L-1 )( 1 )]([ b t f b bsF = ; (b) L tbatfbatubatf st a b de)()]()([ − +∞ ∫ −=−− )d(ee)( 1 )( batf bat a a sb bat a s a = b − − ∞+ −−− ∫ )(e 1 a s F a s a b − =
[sin(at +o)u(ot +o) 3.求变系数微分方程:y"+2(-1)y+(t-2)y=0,满足初始条件y(0)=0的解 解:∵L[y"]+2L[]-2L[y]+L[y]-2y=0 s2Y(s)-sy(0)-y(0}-2sY()-y(0 25sX(s)-y(0)-Y(s)-2Y(s)=0 (s)+-Y(s) 3y(0) 微分方程), (s+1) y(1)=y(0) 又 (0)=0 y((=ct 4.某系统的传递函数H(=、f 求当输入函数f(1)= A sin ot时系统的输出函数y(t) 解: (S)=H(SX(s) 其中H(s)为传递函数,X(s)为输入函数,Y(s)为输出函数 Y(S)=H()山fm=、f Ao LIA SIn ot= +Ts s< +o S T2+-二+s Ako y(1) le -cos @t +-sin at Akto sin -arctan(oT)]+ +t-a T-0+I
L s s s s tut ω ϕ ω ϕ ω ω ω ω ϕωϕω e 1)( 1 e 1 )]()[sin( 22 2 + = + =++ . 3. 求变系数微分方程： −+ + − ytytty = 0)2(')1(2'' ，满足初始条件 的解 y = 0)0( . 解： Q L L L ty + 2]''[ ty − 2]'[ y ]'[ + L ty − 2][ L y = 0][ 0)(2)(')]0()([2 )]'0()([2)]'0(')0()([ 2 =−−−− ∴ −−−−− sYsYyssY yssYysysYs 2 )1( )0(3 )( 1 4 )(' + = + ∴ + s y sY s sY （微分方程）, 4 1 )1( )0( )( + + + ∴ = s c s y sY , t t ctyty − − ∴ += ee)0()( 3 . 又 Q y = 0)0( , t ctty − ∴ = e)( 3 . 4. 某系统的传递函数 Ts k sH + = 1 )( .求当输入函数 = sin)( ωtAtf 时系统的输出函数 ty )( . 解： Q = sXsHsY )()()( 其中 为传递函数， 为输入函数， 为输出函数 sH )( sX )( sY )( . ∴ = sHsY )()( L Ts k tf + = 1 )]([ L 22 1 ]sin[ ω ω ω + ⋅ + = s A Ts k tA ] 1 1 1 [ 1 2222 2 ω ω ω ω + + + − ++ = s T s s s TT T Ak , ]sin 1 cos[e 1 )( 2 t T t T T Ak ty T t ω ω ω ω ω +− + ∴ = − T t T AkT t T T Ak − + − + + = e 1 sin[ )]arctan( 1 22 22 ω ω ω ω ω