第2章拉普拉斯变换 2.1拉普拉斯变换 22拉普拉斯逆变换 23拉普拉斯变换的性质 24拉普拉斯变换的应用 2.1拉普拉斯变换 1拉普拉斯积分 2拉普拉斯变换 1拉普拉斯积分 (1)拉普拉斯积分的概念 定义2.1称含复参变量s的广义积分 f(tedt (2.1) 为拉普拉斯积分. 例2.1求单位阶跃函数 ut)= 0,t0时, st u(tedt (Re(s)>0)
第 2 章 拉普拉斯变换 2.1 拉普拉斯变换 2.2 拉普拉斯逆变换 2.3 拉普拉斯变换的性质 2.4 拉普拉斯变换的应用 2.1 拉普拉斯变换 1 拉普拉斯积分 2 拉普拉斯变换 1 拉普拉斯积分 （1）拉普拉斯积分的概念 定义 2.1 称含复参变量s的广义积分 (2.1) ∫ +∞ − 0 de)( ttf st 为拉普拉斯积分. 例 2.1 求单位阶跃函数 ⎩ ⎨ ⎧ 0)Re( 时， )0)(Re( 1 de)( 0∫ = > ∞+ − s s ttu st . 1
例2.2求指数函数 的拉普拉斯积分(其中a为任意复常数). e s dt +9a-(s-a)t d t Re(s)> re(a) s-C 例2.3求正弦函数 f*(t)=sin kt 的拉普拉斯积分(其中k为任意复常数) 解 Jo sin kte s dt +ooikt-ikty-st e e-s dt 2 2i s-ik stik (Re(s-ik)>o.re(s+ik>o) +h2 (re(s)>l reik)p (2)拉普拉斯积分存在定理 定理2.1若函数f*()在区间[0,+∞)上满足下列条件: (1)f*()在任一有限区间上分段连续 (2)存在着常数M>0,Co>0,使得 If*(OkM 则在半平面Re()=C>Co上积分 「f*()edt 存在,由此积分所确定的函数F(S)解析 证由条件(2)可知,当Re(S)=C>co时
例 2.2 求指数函数 t tf α = e)(* 的拉普拉斯积分(其中α 为任意复常数). 解 t t stt ts dedee 0 )( 0∫ ∫ ∞+ − +∞ −− = α α ))Re()(Re( 1 α α > − = s s . 例 2.3 求正弦函数 f t = sin)(* kt 的拉普拉斯积分(其中k 为任意复常数). 解 tkt t st stktkt de)e(e i2 1 desin 0 ii 0∫ ∫ ∞+ − ∞+ −− = − ) i 1 i 1 ( i2 1 s k s + k − − = s − k > 0)i(Re( 且 s + k > )0)iRe( 22 2 s k k + = s > − k |)iRe(|)(Re( ）. （2）拉普拉斯积分存在定理 定理 2.1 若函数 f t)(* 在区间 +∞),0[ 上满足下列条件: (1) f t)(* 在任一有限区间上分段连续; (2)存在着常数 0,0 M c0 >> ,使得 , tc Mtf 0 = ccs 0上,积分 ∫ ∞+ − 0 de)(* ttf st 存在,由此积分所确定的函数F s)( 解析. 证 由条件(2)可知,当 0 )Re( = > ccs 时, 2
Jo /*(e-dd5oo1f*(e-stidt Idt e l dt 所以f*()e“dt在Re()>C时收敛即该积分存在 又因为 o te(c-co)dt + 1f*(D)e-|dt≤M M (C-C 故 [F(S) f*(te dt] d s S + f*(1)e-当]dt d tf*(te dt 所以F(S)在半平面Re(s)>Co上可导解析 例24求幂函数∫*()="(常数m>-1)的拉普拉斯积分 解由于s为右半平面的任一复数,设S=rel° (-<O t,则 6。f*()e-dt="edt
∫ ∫ ∞+ − ∞+ − ≤ 0 0 d|e)(*|de)(* ttfttf st st . d|e| d|e| 0 0 )( 0 )( 0 0 cc M M t M t tcc tcs − = = cs 又因为 ∫ ∫ ∞+ − +∞ −− ≤ 0 )( 0 d|e)(*| de 0 ttMtttf st tcc 2 0 cc )( M − = . 故 ∫ ∞+ − = 0 ]de)(*[ d d )]([ d d ttf s sF s st .de)(* d]e)(*[ d d 0 0 ∫ ∫ ∞+ − ∞+ − −= = tttf ttf s st st 所以 F s)( 在半平面 上可导,解析. 0 )Re( > cs 例 2.4 求幂函数 (常数 m )(* = ttf m > −1)的拉普拉斯积分. 解 由于 为右半平面的任一复数，设 s iθ = rs e ) 2 π 2 π ( θ <<− ， z = st ，则 ∫ ∫ ∞+ − +∞ − = 0 0 dede)(* ttttf st stm 3
m+1J0 上式右边的积分路线为从原点出发, 沿直线BA至无穷远点(见图2.1) 由于z"eˉ在除原点外的复平面上解析, 故 由柯西定理知 ∫+∫+∫+∫z"eˉdz AB C. rR C 图2 即 R B ∫++∫)="ed (22) 因为 ∫="ed=|s』="eldz ∫z" le)ds R Rose d s R +1-rcose e 6→>0(R 同理可得 ∫= e-dzks 0→>0(r→>01) 在式(22)两边同时令R→+∞,r→0得 + d z x"e dx=r(m+ 故
∫ ∞+ − + = 1 0 de 1 zz s zm m 上式右边的积分路线为从原点出发， 沿直线 BA至无穷远点（见图 2.1） 由于 zm z − e 在除原点外的复平面上解析， 故 由柯西定理知 ( +++ = 0de) − ∫∫∫∫ zz zm r CrRCAB R ， 图 2.1 即 zz zz . （2.2） zm C R r C A B zm r R de)(de− − ∫ ++= ∫∫∫ 因为 zzzz R CR zm C zm d|e||de| ∫∫ − − ≤ z s CR RRm e||| d| )sinicos( ∫ − + = θ θ R s CR Rm de cos ∫ − = θ e 0 = R + −Rm cos1 θ θ → R +∞→ )( ， 同理可得 e|de| 0 ∫ − ≤ + −rm cos1 θ θ → C zm rzz r )0( → + r 在式（2.2）两边同时令 R +∞→ ， → + r 0 得 xxzz zm xm de de 0 0∫∫∞ − +∞ − = = Γ m + )1( 故 4
tes dz= (m+1) m+1 (Re(s)>0) 特别地,当m为非负整数时,由于 o x"edx=mJ o xm-e dx=… 得 t'a es z (Re(s)>0) 当m 时,由于 中 xmedx=[2e"dn( 得 d t 2拉普拉斯变换 定义2.2设f(1)为定义在(0,+)上的实值(或复值)函数,其 收敛的拉普拉斯积分 F(S)=f()edt(s为复参量) 建立的从f()到F(S)的对应称作拉普拉斯变换简称拉氏变换).用 字母L表达,即 F(s)=Lf()] 称f()为L变换的像原函数,F(S)为L变换的像函数 例2.5求函数f(t)=chk的拉普拉斯变换(其中k为任意复常 数)
0 1 )1( de + ∞+ − + ∫ = m stm s Γ m zt s > )0)(Re( . 特别地，当m为非负整数时，由于 ∫ = ∫ =L ∞+ − +∞ −− xxmxx xm xm de de 0 1 0 = m!. 得 0 1 ! de + ∞+ − ∫ = m stm s m zt s > )0)(Re( . 当 2 1 m −= 时，由于 xx u xm u de2de 0 0 2 ∫ ∫ ∞+ − +∞ − = = xu )( = π ， 得 s tt u π de 0 2 1 ∫ = ∞+ − − . 2 拉普拉斯变换 定义 2.2 设 f t)( 为定义在 + ∞) ,0( 上的实值(或复值)函数,其 收敛的拉普拉斯积分 ( 为复参量) (2.3) ∫ ∞+ − = 0 de)()( ttfsF st s 建立的从 f t)( 到 F s)( 的对应称作拉普拉斯变换(简称拉氏变换).用 字母 L 表达,即 F s)( =L f t)]([ . (2.4) 称 f t)( 为 L 变换的像原函数, F s)( 为 L 变换的像函数. 例 2.5 求函数 f t = ch)( kt 的拉普拉斯变换(其中k 为任意复常 数). 5
解ch]=chte"dt e d t s-k s+k S s2-k2 (Re(s)> re(k)d 例26求O函数的拉普拉斯变换 解在具体求解题目之前,需先就拉普拉斯变换中积分下限的问题 加经澄清.由于 L-[f(t)]=o f(te -sdt+ L[f(o) 所以当∫()满足拉氏积分存在定理的条件,且在t=0附近有界 时,f()edt=0,即 L[f()]=L[f(t)] 当f(1)在t=0处包含一个δ函数时,f()edt≠0,即 L[f()]≠[f(D 为此,将进行拉氏变换的函数f(t),当t≥0时的定义扩大到当 t>0及t=0的某邻域内,这样拉氏变换的定义 LfO)=0f()ed应为Lf()=()edl 为书写简便,该定义仍写为原来的形式 根据上面的陈述及δ函数的筛选性质易得 i6(O)=「=()e-dt
解 ∫ +∞ − = 0 kt dech][ch tkt st ∫ ∞+ − − + = 0 de 2 ee t st ktkt ) 11 ( 2 1 s k s + k + − = 22 s k s − = s > k |))Re(|)(Re( . 例 2.6 求δ 函数的拉普拉斯变换 解 在具体求解题目之前,需先就拉普拉斯变换中积分下限的问题 加经澄清.由于 L- ∫ + − − = 0 0 de)()]([ ttftf st + L+ f t)]([ . 所以当 f t)( 满足拉氏积分存在定理的条件,且在 t = 0 附近有界 时, 0de)( ,即 0 0∫ = + − − ttf st L- f t)]([ = L+ f t)]([ . 当 f t)( 在t = 0处包含一个δ 函数时， 0de)( ,即 0 0∫ + − ≠ − ttf st L- f t)]([ ≠ L+ f t)]([ . 为此,将进行拉氏变换的函数 f t)( ,当t ≥ 0 时的定义扩大到当 t > 0 及 t = 0 的某邻域内.这样拉氏变换的定义 L ∫ ∞+ − = 0 de)()]([ ttftf st 应为L- +∞ ∫ − = − 0 de)()]([ ttftf st . 为书写简便,该定义仍写为原来的形式. 根据上面的陈述及δ 函数的筛选性质易得 L ∫ +∞ − = − 0 de)()]([ ttt st δδ 6
∫o()ed 如果脉冲出现在t=t0时刻(t0>0),有 L(t-10)=-6(t-10)esdt 6(t-10)e-dr 例2.7求函数 6(t)-B 的拉氏变换 解工f()]=[f(t) for [e-B 5(t)-Beb!u(DJe-stdt 广 e pts) st()dr-Be-+ydt S+B (Re(s)>-B) s+B
.1 de)( = = ∫ +∞ ∞− − tt st δ 如果脉冲出现在 0 t = t 时刻 )0(t0 > ，有 L ∫ +∞ − − −=− 0 0 0 tt de)()]([ ttt st δ δ .e de)( 0 0 st st ttt − +∞ ∞− − = ∫ δ −= 例 2.7 求函数 tuttf )(e)(e)( β t β t βδ − − = − β > )0( 的拉氏变换. 解 L f t)]([ =L- f t)]([ ttut t t st de])(e)([e 0 ∞+ − − − = ∫ − − β β βδ tt t ts ts ded)(e 0 )( )( ∫ ∫ ∞+ +∞ +− ∞− +− = − β β δ β β β + −= s 1 + β = s s s > −β ))(Re( . 7
2.2拉普拉斯逆变换 定义2.3若F(s)=工[f(m),则积分 f()= C+100 F(s)eds(a为s的实部) -10 建立的F(S)到∫()的对应称作拉普拉斯逆变换(简称拉氏逆变换) 用字母工表达,即 f(=LF(sI 它与拉氏变换构成了一个拉氏变换对 定理2.2若f(1)满足拉氏积分存在定理的条件 F(s)=L[f(1)]那么,当Re(s)=a>C0时,在f(1)的连续点处有 反演公式 f()= a+10 F(se d 2 在∫(1)的间断点处,上式右端收敛于[f(t+0)+f(t-0) 证明从略 定理23若S1,S2…,Sn是函数F(S)的所有奇点适当选取a使 这些奇点全在Re(S)0 则有 ain F(s)eds=rEs[F(s)e, skI 2πia-1o 即 f(1)=∑Res{F(s)e,Sk](t>0).(2.10) 证作如图2.2所示闭曲线
2.2 拉普拉斯逆变换 定义 2.3 若F s)( =L f t)]([ ,则积分 ∫ ∞+ ∞− = i i de)( 2π i 1 )( α α tf ssF st (α 为s的实部) 建立的 F s)( 到 f t)( 的对应称作拉普拉斯逆变换(简称拉氏逆变换). 用字母L-1表达,即 f t)( = L-1 F s)]([ . 它与拉氏变换构成了一个拉氏变换对. 定 理 2.2 若 f t)( 满 足 拉 氏 积 分 存 在 定 理 的 条 件 , F s)( = L f t)]([ .那么,当 0 )Re( =α > cs 时，在 f t)( 的连续点处有 反演公式 ∫ ∞+ ∞− = i i de)( 2π i 1 )( α α tf ssF st . 在 f t)( 的间断点处,上式右端收敛于 )]0()0([ 2 1 tftf −++ . 证明从略. 定理 2.3 若 21 L,,, sss n 是函数 F s)( 的所有奇点(适当选取α 使 这些奇点全在 s)Re( )0( . (2.10) 证 作如图 2.2 所示闭曲线 8
图2 C=L+CR,CR是半径为R的圆弧,当R充分大后,F(S)的所有 奇点包含在C围成的区域内.由留数定理可得 「F(s)e"ds=2πi∑Res[F(s)e",sk 根据推广的约当定理,当t>0,R→+∞时, lim F(seds=0 R→+∞CR 从而 F(s)e"ds=∑Res{F(S) F(s) ds Res f(s)e, sk 故 f(r=L[F(s]=>Res[ f(s)e,Sp k=1 se 例2.8求工[ s+16 解∵Res/sex?r (t-2)s s2+16 se Res[ 4i] (-2)s 4(1-2)i +16 s=-1 r se sj 2,=∑Res k=1 +16
图 2.2 C L += CR，CR是半径为R的圆弧，当 R充分大后， F s)( 的所有 奇点包含在C 围成的区域内.由留数定理可得 ∑ ， ∫ = = n k k st C st ssF ssFs 1 2de)( π ],e)([Rei 根据推广的约当定理，当t > 0，R +∞→ 时， ∫ = 0de)(lim ， +∞→ CR st R ssF 从而 ∑ ] ∫ ∫ = ∞+ ∞− = − n k C st k st st R ssFssFssF 1 i i de)(,e)(Res[de)( 2π i 1 α α ∑ = = n k k st ssF 1 ],e)(Res[ 故 f t)( =L-1 F s)]([ = ∑ = n k k st ssF 1 ],e)(Res[ . 例 2.8 求L-1 ] 16 e [ 2 2 + − s s s . 解 Q i)2(4 i4 )2( 2 2 e 2 1 |e 2 1 i]4 , 16 e Res[ − = − − = = + t s st s s s , i)2(4 i4 )2( 2 2 e 2 1 |e 2 1 i]4 , 16 e Res[ −− −= − − =− = + t s st s s s . ∴L-1 ∑ = − − + = + n k k st s s s s s s s 1 2 2 2 2 ],e 16 e Res[] 16 e [ 9
e4(=2)+e-4(2)1 =cos4(t-2)(t>2) 例2.9求函数 F(s) (s2+B 的拉氏逆变换 解: Res be s(s2+B2) d lin B e d S-(S-+ B B B βe Bt Res- (s2+B 45+2sB 21B (2+B2),=- Res( Best 21B Bt I Bt ∴L[F(S)=+ 21 t sin Bt
]e[e 2 1 −−− i)2(4i)2(4 += t t = t − )2(4cos t > )2( . 例 2.9 求函数 )( )( 222 β β + = ss sF 的拉氏逆变换. 解 Q ]0 , )( e Res[ 222 β β ss + st ]e)( [ d d lim 222 2 0 st s ss s s β β + = ⋅ → β t = 2 i i 222 23 i2 e 24 e i] , )( e Res[ β β β β β β β t s st st ss β ss −= + = + = , 2 i 222 i2 e i] , )( e Res[ β β β st βt β ss − −=− + . ∴ L-1 i2 ee1 )]([ ii 2 tt t sF β β β β − += − 2 sin β β β t t −= 10