第二篇积分变换 第1章傅里叶变换 第2章接普拉斯变换 第1章傅里叶变换 1.1傅里叶积分 1.2傅里叶变换 1.3函数 1.4离散傅里叶变换和离散沃尔什变换 习题课 1.1傅里叶积分 1傅里叶积分的概念 2傅里叶积分的物理意义 3傅里叶积分定理 1傅里叶积分的概念 定义1.1称广义积分 (te-lod (1.1) 为傅里叶积分.其中积分变量t∈(-∞,+∞),ω为实值参数. 例1.1求函数
第二篇 积分变换 第1章 傅里叶变换 第2章 接普拉斯变换 第 1 章 傅里叶变换 1.1 傅里叶积分 1.2 傅里叶变换 1.3 δ 函数 1.4 离散傅里叶变换和离散沃尔什变换 习题课 1.1 傅里叶积分 1 傅里叶积分的概念 2 傅里叶积分的物理意义 3 傅里叶积分定理 1 傅里叶积分的概念 定义 1.1 称广义积分 (1.1) ∫ ∞+ ∞− − ttf t de)( iω 为傅里叶积分.其中积分变量t ∈（− ∞，+ ∞）,ω 为实值参数. 例 1.1 求函数 1
esin2x,x≥0; x0,见图1.1(a) 解∵f(x)=f(-x) ∫f(x)e-dx=」of(x) cos oxdx 2E (x--) cos odx这里有图1.1的(b) 8E aT SIn f(r) Uaf()e-lozdx
⎩ ⎨ ⎧ 0 , ,见图 1.1(a). 解 Q f x f −= x)()( , ∴∫ ∫ +∞ −∞ ∞+ ∞− − = xxxfxxf x dcos)(de)( i ω ω ∫ −−= 2 0 dcos) 2 ( 2 2 τ ω τ τ xxx E 这里有图 1.1 的(b) . 4 sin 8 2 2 ωτ τω E = 2
图1.1(b) 2傅里叶积分的物理意义 满足狄利克条件且以T为周期的函数 2n兀 f(t=co+22 cn, cos(m-t+argc,) 在物理上所有出现的诸振动的振幅2|cn|和相位 argc称为由 f1(1)所描写的自然现象的离散频谱 若视定义在(-∞,+)上的非周期函数f(1)的周期T=+∞,可 推得 f(t F(oe d 2兀 f(te-o dt iord 2汇 T ∑∫7(ec-drle-do 2 仿照上面将F(ω)称为由∫()所描写的自然现象的连续频谱 3傅里叶积分定理 定理1.1若函数f()在(-∞,+∞)上满足以下条件: (1)f(1)在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点, (2)f(1)在任一有限区间上至多只有有限个极值点 (3)f()绝对可积(即积分」1f()dr收敛 则积分 + f(te dt 一定存在,且当t为f()的连续点时,有傅里叶积分公式
(a) 图 1.1 (b) 2 傅里叶积分的物理意义 满足狄利克条件且以T 为周期的函数 )arg 2 π cos(||2)( 1 0 n n T n ct T n += ∑ cctf + ∞ = 在物理上所有出现的诸振动的振幅 cn ||2 和相位argcn 称为由 f t)( T 所描写的自然现象的离散频谱. 若视定义在 +∞−∞ ),( 上的非周期函数 f t)( 的周期T +∞= ，可 推得 ωω ω de)( 2π 1 )( ∫ ∞+ ∞− = ti Ftf [ ] ω ω ω dede)( 2π 1 ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− − = titi ttf ∫ ∑ ∫ ∞+ ∞− ∞+ −∞= + − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ω ω ω dede)( 2π 1 2 2 ti k T k T k ti ttf 仿照上面将|F ω)( |称为由 f t)( 所描写的自然现象的连续频谱. 3 傅里叶积分定理 定理 1.1 若函数 f t)( 在 −∞ + ∞),( 上满足以下条件: (1) f t)( 在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点, (2) f t)( 在任一有限区间上至多只有有限个极值点, (3) f t)( 绝对可积(即积分∫ +∞ −∞ d|)(| ttf 收敛), 则积分 ∫ ∞+ ∞− − ttf t de)( iω 一定存在,且当t 为 f t)( 的连续点时,有傅里叶积分公式 3
+∞rP+∞ f(oe dt]e d 当t为∫(1)的间断点时,上式f(t)换作[f(t+0)+∫(t-0) 证明从略. 例1.3求矩形单脉冲函数 E 0,|t卜 的傅里叶积分,傅里叶积分公式 解傅里叶积分 F(o)=mf(re-lodt Edt 2E.ON sInt 傅里叶积分公式 ∞2E.Or sin(ed aT 2E SIn COST ∞ d 由傅里叶积分定理还可得到
∫∫ ∞+ ∞− ∞+ − ∞− = ω ωω de]de)([ 2π 1 )( ii tt tf ttf . 当t 为 f t)( 的间断点时,上式 f t)( 换作 )]0()0([ 2 1 tftf −++ . 证明从略. 例 1.3 求矩形单脉冲函数 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 2 || ,0 ; 2 || , )( τ t τ tE xf 的傅里叶积分, 傅里叶积分公式. 解 傅里叶积分 ∫ ∞+ ∞− − = ttfF t de)()( iω ω ). 2 sin( 2 de 2 2 i ωτ ω τ τ ω E tE t = = ∫− − 傅里叶积分公式 ∫ ∞+ ∞− − = ω ωτ ω ω de) 2 sin( 2 2π 1 )( E i t tf ∫ ∞+ = 0 d cos 2 sin π 2 ω ω ωτ ωτ E . 由傅里叶积分定理还可得到 4
aT sln— COS OT d 2T2 0,其它
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = < ∫ = ∞+ . ,0 ; 2 || , 4 π ; 2 || , 2 π d cos 2 sin 0 其它 τ τ ω ω ωτ ωτ t t 5
1.2傅里叶变换 1傅里叶变换的定义 2傅里叶变换的性质
1.2 傅里叶变换 1 傅里叶变换的定义 2 傅里叶变换的性质 6
1傅里叶变换的定义 定义1.2设∫().为定义在(-∞,+∞)上的函数,由傅里叶积分 F(o)of(oe-odt (1.2) 建立的从f()到F(O)的对应称作傅里叶变换(简称傅氏变换) 用字母F表达,即 ()=F[f(t) 积分 f(r)=F(oedo 2π 一0 建立的从F(O)到∫(1)的对应称作傅里叶逆变换,用字母F表达,即 f(0=F[F(O) f()称作F变换的像原函数,F()称作F变换的像函数 例1.4求钟形脉冲函数 f(o=Ee-B12 B>0) 的傅氏变换 解F(O)=Ef()=」f()edt B(1+)2 Er e 2p e 4pdt 若令z=t+1,则 2B BO 2p dt +∞ -βd二 e 2B 欲求之,作图1.2所示闭路曲线ABCD
1 傅里叶变换的定义 定义 1.2 设 f t)( 为定义在 −∞ + ∞),( 上的函数,由傅里叶积分 ∫ ∞+ ∞− − = ttfF t de)()( iω ω (1.2) 建立的从 f t)( 到F ω)( 的对应称作傅里叶变换（简称傅氏变换）, 用字母 F 表达,即 F ω)( = F[ f t)( ]. (1.3) 积分 ∫ ∞+ ∞− = ωω ω de)( 2π 1 )( i t Ftf 建立的从 F ω)( 到 f t)( 的对应称作傅里叶逆变换,用字母F-1表达,即 f t)( = F-1[F ω)( ]. f t)( 称作 F 变换的像原函数, F ω)( 称作 F 变换的像函数. 例 1.4 求钟形脉冲函数 2 )( t Eetf −β = β > )0( 的傅氏变换. 解 F ω)( = F[ f t)( ] ∫ +∞ −∞ − = ttf t de)( iω ∫ ∞+ ∞− −+− = E t t dee 4 ) 2 i ( 2 2 β ω β ω β . 若令 i 2β ω tz += ,则 ∫ ∫ +∞+ +∞− ∞+ − ∞− +− = i 2 i 2 ) 2 i ( de de 2 2 β ω β ω β β ω β t z z t . 欲求之,作图 1.2 所示闭路曲线 ABCD. 7
图1.2 e-Bx2 在复平面上处处解析,由柯西定理知对VR>0 edz=(+c++)ed==0 ABCD dz=o R→+00 ABCD R→>+oAB R→+aPCO2 又: lim el: dz=lim R dz d√B B B R+ lim 2Be b= dzl Im 2Be-p(R+ly)d y R→>+0 R R→>+∞ 04B BR < lim R→+02B R+- R→+交 B:dz=o 同理 R Im B=d==0 R→+∞R+ B=dz=lir R 2Be- d (1.10) R→+∞·R+ 2B 于是
图 1.2 Q 在复平面上处处解析,由柯西定理知对 2 e−β z ∀R >0, (de 0de) 2 2 +++= ∫∫∫∫∫ = − − z z DA z CDBCAB ABCD β z β ∴ 0delim 2 ∫ = − +∞→ z ABCD z R β 又Q z z R R z R AB z R delimdelim 2 2 ∫ ∫− − +∞→ − +∞→ = β β , π de 1 2 )( β β β β = = ∫ ∞+ ∞− − x x ∫ ∫ +− +∞→ + − +∞→ = β ω β β ω β 2 0 )i( i 2 delimdelim 2 2 z y yR R R R z R 0e 2 lim 2 2 4 ≤ = − +∞→ R R β β ω β ω . ∴ .0delim i 2 2 ∫ = + − +∞→ β ω R β R z R z 同理 lim .0de i 2 2 ∫ = − +− − +∞→ R R z R z β ω β ∴ . π limde dei 2 i 2 i 2 i 2 2 2 β β ω β ω β β ω β ω β ∫ = ∫ = +− + − +∞→ +∞− +∞+ − R R z R z z z (1.10) 于是 8
F(O=Ee 4B f(t) F(o) 图1.3 例1.5求高斯分布函数 f(t) 2 的傅氏变换,其中σ>0,见图1.4 f(t) O 图1.4 解F(O)=F[f(1) ∫f()eodt 2 1 ot e O +gOI d(+oo i 2π
. π e)( 4 2 β ω β ω − = EF (1.11) 图 1.3 例 1.5 求高斯分布函数 2 2 2 e 2π 1 )( σ σ t tf − = 的傅氏变换,其中σ > 0,见图 1.4. 图 1.4 解 F ω)( = F[ f t)( ] ∫ ∞+ ∞− − = ttf t de)( iω ∫ ∞+ ∞− − − = t t t dee 2π 1 2 i 2 2 σ ω σ ∫ ∞+ ∞− +− − = e ⋅ + i)d(e 2π 1 2 i)( 2 1 22 2 σω σ σ ωσ σω σ t t 9
2 +O01 e2 du(u=-+ooi 应用例1.4求式(1.10)的方法得 例1.6解积分方程 1-a,0≤a≤1; Jo f(x)coand 10).上面用两屏, TC x
∫ +∞+ +∞− − − ⋅= i i 2 1 2 de 2π 1 e 2 22 σω σω ωσ u u ( σω i) σ += t u . 应用例 1.4 求式（1.10）的方法得 2 22 e)( ωσ ω − F = . 例 1.6 解积分方程 ⎩ ⎨ ⎧ − = x x x . 上面用两屏， 10
