教学内容释疑解难 第2章 设z=x+iy,证明imn(2x+iy2)=4i 证明:因为|2x+iy2-4ik2|x|+|y2-4=2|x|+|y-2‖y+2| 所以若能找到正数d,使得00,存在正数d=min{,1}, 当04z-2ik<δ时, 1 2x+iy -4ika 成立,即lim(2x+iy2)=4 图2.1 2.证明当0不取到负半实轴和原点时有 lim 证:设z=x+iy,z0=x0+1y,W= cosar,则 arg == arccos= arccos (0≤argz≤π), arg =o = arccos Ro lim arccos
教学内容释疑解难 第 2 章 1. 设 += i yxz , 证明 i4)i2(lim . 2 i2 =+ → yx z 证明：因为 |2||2|||2|4|||2|i4i2| , 2 2 yx yx yyx +−+=−+≤−+ 所以若能找到正数δ ，使得 0，存在正数 }1, 10 min{ ε δ = ， 当 z |i2|0 <−< δ 时, |i4i2| <−+ ε 2 yx 成立，即 i4)i2(lim . 图 2.1 2 i2 =+ → yx x 2. 证明 当 z0 不取到负半实轴和原点时有： 0 argarglim0 zz zz = → . 证： 设 wyxzyxz argcos ,i ,i z +=+= 000 = ,则 22 arg arccos arccos yx x wz + == ≤ z ≤ arg0( π ) , 2 0 2 0 0 0 arg arccos yx x z + = . Q 2 0 2 0 0 22 0 lim yx x yx x zz + = + → ， ∴ 2 0 2 0 0 22 arccoslim arccos 0 yx x yx x zz + = + →
im argz= arg 2 同理可得 lim arg==arg -o 3证明:设函数∫(二-)在〓连续且∫(=0)≠0,那么可以找到二0的一个小邻域,在这个邻域内 z)≠0 f(=)=f(=0), inf()=f(0) 对vE>0,彐6当|-=0kd f()|-1f(=0) 成立 当取E=|f(=0)>0时,彐61,当|z--0kδ1时, f(-)|-1f(=0)4f(=0)l 成立 00,30>0,当044kδ时, ∫(=+A)-f(=0) ∫(=。)<E, f(=0+A-)-f(=0)-f(二0) )-f(=0)-f(-0A lim
即 0 argarglim0 zz zz = → . 当 π z ≤∀ δ 当 − zz 0 || = 0|)(| 时,∃δ 1 ,当 10 − zz || ∃>∀ ,0 ,0 当 < Δz ||0 < δ 时, <− ε Δ −Δ+ )(' )()( 0 0 0 zf z zfzzf , < ε Δ Δ−−Δ+ ∴ || )(')()( 0 0 0 z zzfzfzzf ∴ 0 || )(')()( lim 0 0 0 0 = Δ Δ−−Δ+ →Δ z zzfzfzzf z
f(=0+A)-f(二0)=f(=0)△2+0(4-|) 充分条件 f(二0+△)-f(=0)=A·A+0(A-|, f(二0+△)-f(=0) f∫(二)在二0处可导 5.证明用极坐标表达的柯西一黎曼方程 ar r ae ar 8-+sin 6 Ou au ax au ay =-rsin6-+coso% a0 a a8 ay a8 0s6一+sin ay =-rsin 6-+rcos e 利用 比较上面的式(1)与(4)、式(2)与(3),即得极坐标形式的柯西一黎曼方 arra0’ar 6.设∫()=l(x,y)+iv(x,y),并且a,ν偏导存在.求证:对f(z)柯西一黎曼条件可写成 af au: av 证:∵l(x,y)=l( ),v(x,y)=v( az u,+-ll u, --u 2-12 aaaa0 o. 0v
) || ( 0)(')()( 0 0 0 ∴ Δ+ − = Δ + Δzzzfzfzzf . 充分条件 Q 0 Δ+ − 0 )()( ⋅= Δ + ΔzzAzfzzf |)(| 0 , A z zfzzf z = Δ + −Δ ∴ →Δ )()( lim 0 0 0 , ∴ 在 处可导 zf )( 0 z 5. 证明用极坐标表达的柯西—黎曼方程 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ −= ∂ ∂ u r r v 1 . 证： y u x u r y y u r x x u r u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ Q cos sinθθ (1) y u r x u r y y ux x uu ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θθθ sin cos (2) y v x v r y y v r x x v r v ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ cos sinθθ (3) y v r x v r y y vx x vv ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θθθ sin cos (4) 利用 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ 比较上面的式(1)与(4)、式(2)与(3)，即得极坐标形式的柯西—黎曼方 程： ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ −= ∂ ∂ u r r v 1 . 6. 设 += yxvyxuzf ),(i),()( ，并且u , v 偏导存在.求证: 对 zf )( 柯西—黎曼条件可写成 = 0i ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ z v z u z f . 证： Q ) 2 , 2 (),( ), 2 , 2 (),( i zzzz vyxv i zzzz uyxu + − = −+ = , ∴ ),i( 2 1 ' i2 1 ' 2 1 1 2 y u x u uu z u ∂ ∂ − ∂ ∂ =+= ∂ ∂ )i( 2 1 ' i2 1 ' 2 1 1 2 y u x u uu z u ∂ ∂ + ∂ ∂ =−= ∂ ∂ , ),i( 2 1 ' i2 1 ' 2 1 1 2 y v x v vv z v ∂ ∂ − ∂ ∂ =+= ∂ ∂ )i( 2 1 ' i2 1 ' 2 1 1 2 y v x v vv z v ∂ ∂ + ∂ ∂ =−= ∂ ∂ . ∴ )i( 2 i )i( 2 1 i y v x v y u x u z v z u z f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂
au av au av 柯西一黎曼方程 成立等价于 可f 7若∫(=)在上半复平面内解析,试证函数∫(2)在下半复平面内解析 ∫(-)=u(x,y)+iv(x,y)(y>0)解析 a(-y) av au ay dy l(x,y),-v(x,y)在y<0时C一R方程成立,且四个偏导连续 ∫(三)=u(x,y)-iv(x,y)在y<0(下半平面内)时解析 8.证明若v是在D内的共轭调和函数,那么ν在D内的共轭调和函数是 证 v为的共轭调和函数, oul=一 ax av av au) av a(u) -l为v的共轭调和函数
)( 2 i )( 2 1 x v y u y v x u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∴ 柯西—黎曼方程 , y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ 成立等价于 = 0 ∂ ∂ z f . 7 若 zf )( 在上半复平面内解析，试证函数 zf )( 在下半复平面内解析. 证： Q += yyxvyxuzf > )0 ( ),(i),()( 解析, 0)( )( > −∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ y y v y v x u , )0( )( −∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ − y y u y u x v Q , 0)( )( < ∂ −∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ y x v x v y u , ∴ − yxvyxu ),( ),,( 在 时 y < 0 C—R 方程成立，且四个偏导连续. ∴ −= yxvyxuzf ),(i),()( 在 y < 0 (下半平面内)时解析. 8.证明 若 是 在 内的共轭调和函数，那么 在 内的共轭调和函数是 v u D v D −u . 证： Q 为v u 的共轭调和函数, ∴ y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ , ∴ y u x v ∂ ∂ − = ∂ ∂ )( ， x u y v ∂ ∂ − −= ∂ ∂ )( , ∴ −u 为v 的共轭调和函数