工程数学(复变与积分变换A集)目录 工程数学(复变与积分变换A集)目录 A.1复数与复变函数(第一章)… 1复数 12复变函数 A2导数(第二章) 23解析函数 24调和函数 A3积分(第三章 6899 3.3柯西积分公式解析函数的导数 A.4级数(第四章) II 4.3泰勒级数 44罗朗级数 A.5留数(第五章 15 52留数及留数定理(2) 15 53应用留数计算定积分 A.6傅里叶变换(第七章 71傅里叶积分 7.2傅里叶变换 19 73函数及其傅里叶变换
工程数学（复变与积分变换 A 集）目录 1 工程数学（复变与积分变换 A 集）目录 Ａ.1 复数与复变函数（第一章） ....................................................................................................2 1.1 复数 ............................................................................................................................................2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................4 A.2 导数（第二章） .........................................................................................................................6 2.3 解析函数 ....................................................................................................................................6 2.4 调和函数 ....................................................................................................................................8 A.3 积分（第三章） .........................................................................................................................9 3.3 柯西积分公式 解析函数的导数..............................................................................................9 A.4 级数（第四章） ....................................................................................................................... 11 4.3 泰勒级数 ..................................................................................................................................11 4.4 罗朗级数 ..................................................................................................................................13 A.5 留数（第五章） .......................................................................................................................15 5.2 留数及留数定理（2）.............................................................................................................15 5.3 应用留数计算定积分...............................................................................................................17 A.6 傅里叶变换（第七章） ...........................................................................................................18 7.1 傅里叶积分 ..............................................................................................................................18 7.2 傅里叶变换 ..............................................................................................................................19 7.3 δ 函数及其傅里叶变换...........................................................................................................20
程数学习题集(复变函数与积分变換A集) A.1复数与复变函数(第一章) 11复数 1.选择题 (1)Re(i)= (A)-Re(i-) (B)-Im(二) (C)Im(=) (D)Im(iz) (2)下列对任意复数z均成立的等式为( (A) I= (B)2=() (C)ag=ag (D) Re=Rel 将下例函数化为三角表达式和指数表达式 (1)1+i 解 解 解
2 工程数学习题集（复变函数与积分变换 A 集） Ａ.1 复数与复变函数（第一章） 1.1 复数 1．选择题 (1) ( ) Re( ) iz = （A）−Re( ) iz （B） − Im( )z （C）Im( )z （D） Im( ) iz (2) 下列对任意复数 z 均成立的等式为（ ） （A） 2 2 z = z （B） ( ) 2 2 z = z （C） ( ) 2 2 arg arg z = z （D） ( ) 2 2 Re Re z = z 2. 将下例函数化为三角表达式和指数表达式 (1) 1+ i 解 (2) i 解 (3) 2 1− i 解
A.1复数与复变函数(笫一章) 3.填空题 (1)设z=13-42+i,则复数z=x+iy的形式为 复数z的模为 辐角主值为 (2)设复数z=-5i,则其三角形式 指数形式 (3)当z满足 条件时, 是实数 4.选择题 (1)设z=1+2i,则Imz3=( (A)-2 (B)1 (C)8 (D)14 设:=y20-0,则0+:+1的值为() (A) (B)i 5.计算下例各题的值 (1)(-1+) (2)(1+i)3 (4)
A.1 复数与复变函数（第一章） 3 3. 填空题 (1) 设 ,则复数 的形式为 8 21 zi i i =− + 4 z x iy = + 复数 的模为 z 辐角主值为 (2) 设复数 z = −5i ，则其三角形式 指数形式 (3) 当 z 满足 条件时， 2 1 z z + 是实数． 4．选择题 (1) 设 z = +1 2i ，则 3 Im z = （ ） （A）-2 （B）1 （C）8 （D）14 (2) 设 2 (1 ) 2 z i = − ，则 的值为（ ） 100 50 z z + +1 （A） −i （B）i （C）1 （D）-1 5．计算下例各题的值 (1) (2) 8 (1 ) − + i 1 3 (1 ) + i (3) 6 −1 (4) 10 (1 3 )i − +
程数学习题集(复变函数与积分变換A集) 12复变函数 6.选择题 (1)(-1)2=() (A)无定义 (C)cos(+k丌) (D)isin+kr) (2)方程Re(=2)=1所代表的曲线为( (A)圆周 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 (3)下例正确的是( (A)Ln(=)在二=-1处无定义 (B)Ln(-1)=0 (C)Ln(-1)的虚部等于丌 (D)Ln(-1)的实部等于0 求z的值 2-zi (1)2=e3 2二-1 (3)z=Lm(1-√3) (4)z=In(1-1)
4 工程数学习题集（复变函数与积分变换 A 集） 1.2 复变函数 6. 选择题 (1) 1 2 ( 1) − = （ ） （A）无定义 （B）－１ （C）cos( ) 2 k π + π （D） sin( ) 2 i k π + π (2) 方程 ( ) 2 Re 1 z = 所代表的曲线为（ ） （A）圆周 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 (3) 下例正确的是（ ） （A） Ln z( ) 在 z = −1处无定义 （B） Ln( 1) 0 − = （C） Ln( 1) − 的虚部等于π （D） Ln( 1) − 的实部等于０ 7. 求 z 的值 (1) 2 3 i z e −π = (2) e 2 1 z 1 − = (3) z Ln i = − (1 3 ) (4) z i = ln(1 ) −
A.1复数与复变函数(笫一章) 8.选择题 ()设D={=10<1<1},则D为() (A)无界区域 (B)复连通域 (C)单连通域 (D)闭区域 (2)下例正确的是( (A)e为单调函数 (B)e为有界函数 (C)e为多值函数 (D)e为周期函数 9.判断正误 (1)因为|+1<2(1+),所以1+1<2(1+0) (2)sinz,cosz为有界函数 (3)Lm(=2)=2LnE ()D={-Re)s所表示的为整个复平面 11.计算下例各值 (1)(1+i) (-1+√3 (4)cos(2-1) sInl (6)Arctan(2i
A.1 复数与复变函数（第一章） 5 8. 选择题 (1)设 Dz z = << { 0 1} ，则 D 为（ ） （A）无界区域 （B）复连通域 （C）单连通域 （D）闭区域 (2) 下例正确的是（ ） （A） 为单调函数． （B） 为有界函数． z e z e （C） 为多值函数． （D） 为周期函数． z e z e 9. 判断正误 (1) 因为 1 2(1 +< + i i) i) z ，所以1 2 +< + i (1 . ( ) (2) sin ,cos z 为有界函数． ( ) (3) ． ( ) 2 Ln z Lnz ()2 = (4) Dz z z = ≤ { Re( ) } 所表示的为整个复平面. ( ) 11. 计算下例各值 (1) (1 ) (2) i + i 2 1 (3) 3 2 ( 1 3) − + i (4) cos(2 ) − i (5) sini (6) Arc i tan 2( )
程数学习题集(复变函数与积分变換A集) A2导数(第二章) 23解析函数 1.选择题 (1)函数W=∫(-)=+在点=0处解析,则下列命题不成立的是() (A),v仅在点0处可微且满足柯西黎曼方程 (B)存在点二的某一邻域U/(=0),1、v在U(=0)内满足柯西-黎曼方程 (C)u,v在U(二)内可微 (D)B与C同时成立 (3)函数w=f(=)=+的实、虚部n,在区域D内有一阶连续的偏导数,则 (A)L,v在D内满足柯西黎曼方程(B)f(-)在D内连续 (C)f(-)在D内可导 (D)f(-)在D内解析 (4)设函数f(=)在区域D内解析,则与∫(-)=常数不等价的命题是() (A)f()=0 (B)Re/()=mf()=常数 (C)f(=)解析 (D)/(=)=常数 讨论下列函数的解析性 (1)f(-)== (2)f(=)=Re(= (3)f(=)=x2+ⅸx2y
6 工程数学习题集（复变函数与积分变换 A 集） A.2 导数（第二章） 2.3 解析函数 1. 选择题 (1) 函数 w f z u iv = =+ ( ) 在点 处解析,则下列命题不成立的是( ) 0 z （A）u v, 仅在点 处可微且满足柯西-黎曼方程 0 z （B）存在点 z0 的某一邻域Uz u v ( ) 0 , 、 在U z( 0 ) 内满足柯西-黎曼方程 （C）u v, 在U z( 0 ) 内可微 （D） B 与 C 同时成立 (3) 函数 w f z u iv = =+ ( ) 的实、虚部 在区域 内有一阶连续的偏导数，则 ( ) u v, D （A）u v, 在 D 内满足柯西-黎曼方程 （B） f (z) 在 内连续 D （C） f ( )z 在 D 内可导 （D） f (z) 在 内解析 D (4) 设函数 f (z) 在区域 D 内解析,则与 f (z) ≡ 常数不等价的命题是( ) （A） f z ′( ) ≡ 0 （B）Re Im f (z fz ) ≡ ( ) ≡ 常数 （C） f ( )z 解析 （D） f (z) ≡ 常数 2. 讨论下列函数的解析性 (1) ( ) 1 f z z = (2) f (zz z ) = Re( ) (3) ( ) 2 2 f z xy ix = + y
2导数(第二章) 3.判断题 (1)解析函数的导函数仍为解析函数. (2)初等函数在其定义域内解析,可导 (3)如果f(=)在=0解析,那么∫(=)在=连续 )))) (4)函数f(=)=|在二平面上解析 选择题 (1)如果是f(-)的奇点,则f(-)在二处一定为( (A)不可导 (B)可导 (C)不解析 (D)解析 (2)如果f"(=0)存在,那么∫(2)在=处一定有 (A)解析 (B)不解析 (C)不连续 (D)连续 5.讨论∫(=)=x+3x2y-3xy2-y2的解析性,并求导数 6.设函数f(=)=m3+nx3y+(x2+y2)为解析函数试确定,mn
A.2 导数（第二章） 7 3. 判断题 (1) 解析函数的导函数仍为解析函数. （ ） (2) 初等函数在其定义域内解析，可导. （ ） (3) 如果 f ( )z 在 解析，那么 0 z f ( )z 在 连续. （ ） 0 z (4) 函数 ( ) 2 f z z = 在 平面上解析. z （ ） 4. 选择题 (1) 如果 z0 是 f (z) 的奇点, 则 f ( )z 在 处一定为（ ） 0 z （A）不可导 （B）可导 （C） 不解析 （D）解析 (2)如果 ( ) 0 f ′ z 存在，那么 f (z) 在 处一定有（ z0 ） （A）解析 （B）不解析 （C） 不连续 （D）连续 5. 讨论 ( ) 32 2 3 3 3 f z x x yi xy y =+ − − i ) 的解析性，并求导数. 6. 设函数 ( ) ( 32 3 2 f z my nx y i x lxy =+ ++ 为解析函数,试确定 . lmn ,
程数学习题集(复变函数与积分变換A集) 24调和函数 7.判断题 (1)解析函数f(-)=u(x,y)+iv(x,y)的(x,y)与v(x,y)互为共扼调和函数 (2)若(xy)与v(xy)都是调和函数则∫(-)=l(x,y)+v(x,y)是解析函数 (3)设u=l(x,y)为区域D内的调和函数,∫=-1,则∫是D内的解析函数 8.选择题 (1)函数∫(-)=(x,y)+v(xy)解析,则下列命题中错误的是() (A)u,均是调和函数 (B)v是l的共轭调和函数 (C)l是v的共轭调和函数 (D)-l是v的共轭调和函数 (2)下列函数中不是调和函数的是() (A) h(x, y)=arctan (B)h(x y2) +2x-y (c)h(x,y) (D)h(x,y=esiny 9.已知v(x,y)=-3x2+x,求以v为虚部的解析函数∫()=l+m 10.已知v(x,y)=2 e sin y,求以u为实部的解析函数f(=)=+m,使f(O)=0
8 工程数学习题集（复变函数与积分变换 A 集） 2.4 调和函数 7. 判断题 (1) 解析函数 f (z u x y iv x y )() ( = + , , )的u xy ( , ) 与vxy ( , ) 互为共扼调和函数. （ ） (2) 若u xy ( ) , 与vxy ( , ) 都是调和函数,则 f (z u x y iv x y ) = + ( , ) ( , )是解析函数. （ ） (3) 设u u xy = ( , ) 为区域 内的调和函数 D , u u f i x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ ,则 f 是 D 内的解析函数. （ ） 8. 选择题 (1) 函数 f ( )z u x y iv x y = + ( , ) ( , )解析，则下列命题中错误的是( ) （A） u v, 均是调和函数 （B） 是v u 的共轭调和函数 （C） u 是v 的共轭调和函数 （D） −u 是 的共轭调和函数 v (2)下列函数中不是调和函数的是( ) （A） ( ) , arctan y hxy x = （B）. ( ) ( ) 2 2 hxy x y x y , ln 2 = + +− ; （C） ( ) 2 2 , x hxy y x y = − 2 + （D） ( ) 2 , si x hxy e y = n 3 9. 已知 ( ) 2 v x y xy x , 3 = − + ，求以 为虚部的解析函数 v f (z ui ) = + v . 10. 已知 ( ) , 2 sin ，求以u 为实部的解析函数 x u xy e y = f (z ui ) = + v ，使 f (0 0 ) =
3积分(第三章) A3积分(第三章) 33柯西积分公式解析函数的导数 1.选择题 (1)设C:|z-2|=1,则 (A Te i ( B) 2zei (C)2e (2)设C=1则面 (B) (C)0 (D)-2丌i 计算题 sIn (3) 2(Z (4) c,其中C为由正向圆周|=2与负向圆周|==1所组成
A.3 积分（第三章） 9 A.3 积分（第三章） 3.3 柯西积分公式 解析函数的导数 1. 选择题 (1) 设 z C e :| 2 | 1, dz z 2 C z − = − 则 ∫ =( ) (A) ie (B) 2 π πei2 (C) (D) 2 πe2 ie2 2 π (2) 设 C 3 sinz :| | 1, dz z 2 C z π = − 则 ∫ （ ） =( ) (A) − π i (B) π i (C) 0 (D) − π i2 2. 计算题 (1) ∫ z =− 1|2| − 2 z dz z e (2) ∫ =3|| − 3 z dz 1z e z z ）（ (3) 2 2 sin (1 ) z z dz z = − ∫ (4) ∫C z dz z e ，其中C为由正向圆周 z = 2|| 与负向圆周 z = 1|| 所组成
数学习題集(复变函数与积分变换A集 3.填空题 (1)设C:|=1,则当ak1时 d 当1ap时, (2)当C沿 一的简单闭曲线时,∫。在=0 当C为不含或全部包含21222的简单闭曲线时, d (3)设函数f()= d,则∫(+1) 若∫(=) 32+3d2,则f"() 4.计算题 sIn 2 (3)5g032d,其C1=2C2=上=3为负向圆周
10 工程数学习题集（复变函数与积分变换 A 集） 3. 填空题 (1)设 zC = ,1||: 则当 时 a 1|| 2 ( ) z e dz z a = − ∫ (2) 当C 沿________________________的简单闭曲线时， ∫ = C dz z 0 1 . 当C 为不含或全部包含 z i 2 3 2 1 2,1 ±−= 的简单闭曲线时, 2 C 1 dz z z = + + ∫ _________________ ______________ (3)设函数 zf )( = ζ ζ ζζ d z z ∫ = − ++ 2 2 173 ,则 ′ if + )1( = 若 zf )( = ζ ζ ζζ d z z ∫ = − + 2 3 53 ,则 ′′ if )( = 4. 计算题 (1) ∫ =2|| −− 2 2 5 dz )3(1z 1 z ）（ zz (2) ∫ = − 2|| 2 dz z sin z z ）（ π 2 (3) ∫ += 21 dz z cos 3 CCC z ,其中 3|:|;2|:| 1 = 2 zCzC = 为负向圆周