教学内容释疑解难 第7章 1.求证:若∫()满足傅氏积分定理条件,当f(1)为奇函数时,则有 f(o= b(o)sin ot d 其中 b(o) 当∫()为偶函数时,则有 f(= a(@)cost do 其中 (o 证:当f(1)为奇函数时 f(re drle d r pr[2i[ f(r)sin or dr]elon do x(-2i f(r)[ sin @re do]dr atdo]d ∫(r) sin ord t] sin ot da b(o)sin at do 同理得:当f(1)为偶函数时结论成立 2.设F()是函数∫(1)的傅氏变换,证明: F(-O)=F[f(-D)(翻转性质) 证 F(o)=f(re-o dt, F(o)=f(elow dt t=-t f(r)e-ier dr FlfGOI 且F()与∫(1)的奇偶性相同 3.证明像原函数f(1)是实值函数的必要与充分条件是它的像函数满足 证:∵f()是实值函数
教学内容释疑解难 第 7 章 1. 求证：若 满足傅氏积分定理条件，当 为奇函数时，则有 tf )( tf )( ,dsin)()( ∫0 +∞ = tbtf ωωω 其中 ∫ ∞+ = 0 dsin)( π 2 b ω)( ω tttf ； 当 为偶函数时，则有 tf )( ,dcos)()( ∫0 +∞ = tatf ωωω 其中 ∫ ∞+ = 0 dcos)( π 2 a ω)( ω tttf ； 证：当 为奇函数时， tf )( ∫ ∫ ∞+ ∞− − ∞+ ∞− = ωττ ωτ ω de]de)([ 2π 1 )( i i t tf f ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ −= ωτωττ ω de]d sin)(i2[ 2π 1 i 0 t f τ τωωτ ω d]desin)[(i)2( 2π 1 0 i ∫ ∫ + ∞ ∞ + ∞− −×= t f τ d]dsinsin)[(i)2i)(2( τωωωτ 2π 1 ∫ ∫ 0 0 + ∞ ∞ + −×= f t d sin]dsin)([ ωωτωττ π 2 ∫ ∫ 0 0 + ∞ ∞ + = f t . ∫ +∞ = 0 tb dsin)( ωωω 同理得: 当 tf )( 为偶函数时结论成立. 2. 设 F ω)( 是函数 的傅氏变换，证明： tf )( F ω)( =− F −tf )]([ （翻转性质）. 证： ttfF , t de)()( i ∫ +∞ ∞− − = ω Q ω ω τττ ω ωτ de)( de)()( i i ∫ ∫ +∞ ∞− − +∞ ∞− ∴ F =− ftttf −−= t =F −tf )]([ . 且 F ω)( 与 tf )( 的奇偶性相同. 3. 证明像原函数 tf )( 是实值函数的必要与充分条件是它的像函数满足 =− FF ωω )()( . 证： Q 是实值函数， tf )(
f()edt=」f(t)e-mdt =/(edt=/ 反之,若F(-O)=F(o),则 F(eda F(oe d F(Oe f( f(1)为实值函数 4.求函数F() sin(2It To)cos(2 To) 的傅氏逆变换 当(0=-11时,EO=2mn 0,|t卜 F"ISin(r To) sin(4I To) eer do 4πTO sin(4π d(4 To) Ido(o= 4r To) 4πT2r ∫(,一) 4πT4T F[F(o=T·f( 1 4π 4πT It ks t t卜4πT
∴ ∫ ∫ +∞ ∞− − +∞ ∞− − = = ttfttfF t t de)(de)()( iω iω ω ∫∫ +∞ ∞− −− +∞ ∞− = = ttfttf t t de)(de)( iω ω)i( F −= ω)( . 反之，若 =− FF ωω )()( ，则 ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− = ωω = − ωω ω ω de)( 2π 1 de)( 2π 1 )( i t i t tf F F )'( 'de)'( 2π 1 de)( 2π 1 i 'i ωω ωωωω ω ω = − = −= ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− − t t F F = tf )( . ∴ tf )( 为实值函数. 4. 求函数 ω ω ω ω 2π 2sin( π 2cos() π ) )( T T F = 的傅氏逆变换. 解： Q 当 时， F ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 1|| , 0 ;1|| ,1 )( t t tf ω sin2 ω tf )]([ = , ∴ F-1 ∫ ∞+ ∞− = ω ω ω ω ω ω de 4π 4sin( π ) 2π 1 ] 4π 4sin( π ) [ i t T T T T ∫ ∞+ ∞− ⋅ = 4d(e π ) 4π 4sin( π ) 4π 1 2π 1 4π 4i π ω ω ω ω T T T T T t T ∫ ∞+ ∞− ⋅ = = 4'( 'de π ) ' 'sin 2π 1 4π 1 4π 'i ωωω ω ω ω T T T t ) 4π ( 4π 1 T t f T = , ∴ F-1 ) 4π ( 4π 1 )]([ T t f T ω TF ⋅= ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ⋅= 1 4π , 0 1 4π ,1 4π 1 T t T t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 4|| , 0 π . 4|| , π ; 4π 1 Tt Tt