数学实验一:解析函数对平面向量场的应用 1.平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道,所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被 视为不可压缩的。当空气流速不超过音速(330m/s)的06-0.8倍时,也可视其为不可压 缩的 所谓流体的平面流动指在流动中,垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同, 且与指定平面平行。显然,对于平面流动,只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中, 各质点的速度仅与各质点的位置有关,而不随时间变化,则称其为平面稳定流动。 在不可压缩流体的平面稳定流动中,取上述平面作为z平面,若对于z平面上某一区域 D内的每一点,有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应;则在D内确定了 个稳定平面向量场。 在区域D内任取一条简单曲线C。以C为准线,垂直于C的直线为母线,作一个高为 1的柱面,单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量(即流体的质量),称为通过C流 向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的,所以上述流量可用所流 过的流体在D上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C的某一侧的流量为正,则 流体向相反的一侧的流动的流量为负 取曲线C上的弧元素AB=ds。指定C的方向,并相应取定它的法线的方向,使沿着C 按取定方向前进时,法线所取定的方向总指向C的右侧。设在点A处的速度向量为v,vn,v 分别表示v在法线方向上的投影,则在单位时间内,通过元素ds流向法线所指定那一侧的 流量等于 实际上,这个量就等于以ds及v为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线C流 向取定一侧的流量O为 0=v,ds 设v的实部和虚部分别为a=a(x,y)及b=b(x,y),即v=a+ib,a表示沿C正向的 切线与实轴的夹角,则取定法线方向与实轴的夹角为B=a-x。从而C上切线向量和法 线向量的方向余弦分别是:cosa,sina和cosB=sina,sinB=-cosa.于是
数学实验一：解析函数对平面向量场的应用 1．平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道，所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被 视为不可压缩的。当空气流速不超过音速 (330 / ) m s 的 0.6 0.8 − 倍时，也可视其为不可压 缩的。 所谓流体的平面流动指在流动中，垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同， 且与指定平面平行。显然，对于平面流动，只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中， 各质点的速度仅与各质点的位置有关，而不随时间变化，则称其为平面稳定流动。 在不可压缩流体的平面稳定流动中，取上述平面作为 平面，若对于 平面上某一区域 内的每一点，有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应；则在 内确定了 一个稳定平面向量场。 z z D D 在区域 内任取一条简单曲线 。以C 为准线，垂直于 的直线为母线，作一个高为 的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量 即流体的质量 ，称为通过 流 向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的，所以上述流量可用所流 过的流体在 上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C 的某一侧的流量为正，则 流体向相反的一侧的流动的流量为负。 D C C 1 ( ) C D 取曲线C 上的弧元素 。指定 的方向，并相应取定它的法线的方向，使沿着C 按取定方向前进时，法线所取定的方向总指向C 的右侧。设在点 AB ds = C A 处的速度向量为v v 分别表示v 在法线方向上的投影，则在单位时间内，通过元素 流向法线所指定那一侧的 流量等于 , , n t v ds . （1） n v ds 实际上，这个量就等于以 及 为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线 流 向取定一侧的流量 为 ds v C Q d . n C Q vs = ∫ 设v 的实部和虚部分别为 a axy = (, ) 及b bxy = (, ) ，即v a ib = + ，α 表示沿 正向的 切线与实轴的夹角，则取定法线方向与实轴的夹角为 C 2 π β α= − 。从而 上切线向量和法 线向量的方向余弦分别是：cos C α,sinα 和cos sin ,sin cos . β = α β = − α 于是 1
,=vcosa, sina,=a a+sina, v=vsin, - cosa=asina-bcosa 故我们有 Q=」( asina- b cosa ds=」-bx+ady 若曲线C是闭合的,指定反时针方向为正向,则法线方向的正向指向曲线C的外部 从而当流入C的内部的流体多于流出的流体时,流量为正的;反之,当流入C的内部的流 体少于流出的流体时,流量为负的。若在区域D内任何部分,都无流体放出,也无流体吸 入,则称D内流速场v既无源又无汇。设流速场v既无源又无汇,则对D内的任一闭曲线C, 通过C的流量应当满足Q=[-b+adb=0,由格林公式不难推得以下结论 设D是单连通区域,a,b在D内有连续偏导数。则D既无源又无汇的必要与充分条件 是 (3) 前边已经定义v为速度向量v在切线方向的投影,且v= a cos a+ bsin a,其中a,b为v的 实部和虚部(也就是v在x轴和y轴方向的投影),a为切向量与x轴的夹角。对D内的任 一简单闭曲线C称|vds为流体在单位时间内沿曲线C的环量。 若沿D内的任一简单闭曲线C的环量是零,这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义,无旋流动的条件是:对D内的任一简单闭曲线C y, ds=(acos+sina)d adx + bdy=0 由格林公式又不难推得下述结论: 假定D是单连通区域,a,b在D内有连续的偏导数,则D是无旋场的必要与充分条 件是 aa ab dy ax 以上讨论中,是定义在D上的流速场,实际上,对其它既有大小又有方向的物理量, 以上结论同样成立。 现考虑平面上的静电场,取静电场所在平面为z平面,单位电荷在平面上某点所受的
{cos ,sin } cos sin , t v v =⋅ = + α α α a b α {sin , cos } sin cos . n v v =⋅ − = − α α α a b α y 故我们有 ( sin cos )d d d . C C Q a b s bx a = − =− + α α ∫ ∫ （2） 若曲线C 是闭合的，指定反时针方向为正向，则法线方向的正向指向曲线C 的外部， 从而当流入 的内部的流体多于流出的流体时，流量为正的；反之，当流入C 的内部的流 体少于流出的流体时，流量为负的。若在区域 内任何部分，都无流体放出，也无流体吸 入，则称 内流速场 既无源又无汇。设流速场 既无源又无汇，则对 内的任一闭曲线C ， 通过C 的流量应当满足 ，由格林公式不难推得以下结论： C D D v v D 0 C Q bdx ady =− + = ∫ 设 是单连通区域， 在 内有连续偏导数。则 既无源又无汇的必要与充分条件 是 D a b, D D ( ). a b x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ （3） 前边已经定义 为速度向量 在切线方向的投影，且 t v v cos sin , t va b = α + α 其中 为 的 实部和虚部 也就是v 在 a b, v ( x 轴和 y 轴方向的投影 ，) α 为切向量与 x 轴的夹角。对 内的任 一简单闭曲线C 称 D dt C v s ∫ 为流体在单位时间内沿曲线 的环量。 C 若沿 D 内的任一简单闭曲线C 的环量是零，这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义，无旋流动的条件是：对 D 内的任一简单闭曲线C ， d ( cos sin )d t C C vs a b s = + α α ∫ ∫ = d d C ax by + = 0. ∫ 由格林公式又不难推得下述结论： 假定 是单连通区域， 在 内有连续的偏导数，则 是无旋场的必要与充分条 件是 D a b, D D . a b y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 以上讨论中，v 是定义在 上的流速场，实际上，对其它既有大小又有方向的物理量， 以上结论同样成立。 D 现考虑平面上的静电场，取静电场所在平面为 z 平面，单位电荷在平面上某点所受的 2
力,称为这点的电场强度。如果在〓平面上或其上某区域内每一点,有一个大小与方向都不 随时间改变的电场强度向量,则z平面上也给出一个稳定平面向量场,设其所在区域为D 现用w=l+ⅳ表示D中电场强度向量,则对D中任一条简单闭曲线C, 0=|-rdx+udy 表示通过C的通量 由静电理论,通过C的通量与C包围的区域内的总电荷成正比,因此C的内区域是否 包含电荷取决于上述积分是否为零。与流速场的情形一样,我们有以下结论: 若D是单连通区域,并且l及v在D内有连续的偏导数,则在D内无电荷的必要与充 分条件是 对D中任一简单闭曲线C,同样可定义沿C的环量 udx +rd 其物理意义是单位正电荷沿C移动时电场立所作的功。对静电场,一样有以下结论 假设D是单连通区域,u,v在D内有连续的偏导数,则D是无旋场(即环量为零)的 必要与充分条件是 2.平面场的复势 设在区域D内每点给定一个不随时间改变的向量w=+iv,即在D内给定一稳定平 面向量场。设C为D内任一条简单闭曲线,可与流速场和静电场完全相同的方式定义通过C 的流量及沿C的环量。当流量和环量都是零时,称平面场W在D上是无源、无汇及无旋的。 静电场无源、无汇及无旋等价于场内无电荷,且当单位正电荷沿D内任一条简单闭曲线移 动时,电场力所作的功是零。 假设平面区域D是单连通的,且u及v在D内具有连续偏导数,又设w在D上是无源 无汇及无旋的,则由上节的结论知 (4) ay ay 由柯西-黎曼条件可知函数
力，称为这点的电场强度。如果在 平面上或其上某区域内每一点，有一个大小与方向都不 随时间改变的电场强度向量，则 平面上也给出一个稳定平面向量场，设其所在区域为 。 z z D 现用 w u = + iv 表示 中电场强度向量，则对 中任一条简单闭曲线 ， D D C d d C Q vx u =− + ∫ y 表示通过C 的通量。 由静电理论，通过C 的通量与C 包围的区域内的总电荷成正比，因此C 的内区域是否 包含电荷取决于上述积分是否为零。与流速场的情形一样，我们有以下结论： 若 是单连通区域，并且 及v 在 内有连续的偏导数，则在 内无电荷的必要与充 分条件是 D u D D ( ). u v x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ 对 中任一简单闭曲线 D C ，同样可定义沿 的环量 C d d C ux vy + ∫ . 其物理意义是单位正电荷沿 移动时电场立所作的功。对静电场，一样有以下结论： C 假设 是单连通区域， 在 内有连续的偏导数，则 是无旋场 即环量为零 的 必要与充分条件是 D u v, D D ( ) . u v y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 2．平面场的复势 设在区域 内每点给定一个不随时间改变的向量 D w u iv = + ，即在 内给定一稳定平 面向量场。设C 为 内任一条简单闭曲线，可与流速场和静电场完全相同的方式定义通过C 的流量及沿C 的环量。当流量和环量都是零时，称平面场 在 上是无源、无汇及无旋的。 静电场无源、无汇及无旋等价于场内无电荷，且当单位正电荷沿 内任一条简单闭曲线移 动时，电场力所作的功是零。 D D w D D 假设平面区域 是单连通的，且u 及v 在 内具有连续偏导数，又设 在 上是无源、 无汇及无旋的，则由上节的结论知 D D w D , u v x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ , u v y x ∂ ∂ = ∂ ∂ （4） 即 ( ) , u v x y ∂ ∂− = ∂ ∂ ( ). u v y x ∂ ∂ − = − ∂ ∂ 由柯西-黎曼条件可知函数 3
l+(-v)=l-i 在D内解析,且函数l及v都是D内的调和函数。 由式(4),ldx+rdy及-vdx+udy分别是某两个函数(x,y)和v(x,y)的全微分, Ep d=udx+vdy dy=-vdx+ udy 从而有 而且,不计常数之差,φ、v由u,v唯一确定。 显然函数Q(x,y)和y(x,y)满足柯西-黎曼条件,因而函数 在D内解析,及v都在D内调和,并且 y +i(-V) 从而,f(=)=+正是给定的平面场 我们称∫(-)为平面向量场v的复势。调和函数(x,y)及v(x,y)分别称为向量场w 的势函数和流函数。 由于dφ=ldx+udy,所以称φ是向量场w的势函数,曲线族 qp(x,y)=常数 称为等势线,它显然是微分方程 do= udx vdy=0 的解,亦即在等势线上有 为什么称v是向量场w的流函数呢?我们来看,曲线族 ∥(x,y)=常数, 它显然是微分方程 dy(r,y)=-rdx+udy=0 的解,即有
u i v u iv + ( ) − =− 在 内解析，且函数 及 D u v 都是 内的调和函数。 D 由式（4）， 及 ux vy d d + − + vx uy d d 分别是某两个函数ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 的全微分， 即d dd ϕ = + ux vy, d d ψ =− + vx uyd ， 从而有 uv v ,, , xyx y u. ∂∂∂ ∂ ϕ ϕψ ψ = = =− = ∂∂∂ ∂ 而且，不计常数之差，ϕ 、ψ 由 唯一确定。 u v, 显然函数ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 满足柯西-黎曼条件，因而函数 f (z xy i x ) = + ϕ ψ ( , , ) ( y) 在 内解析， D ϕ 及ψ 都在 内调和，并且 D f ( )z i ui( ), v x x ∂ϕ ∂ψ ′ = + =+− ∂ ∂ 从而， f ′( )z ui = + v 正是给定的平面场 w. 我们称 f ( )z 为平面向量场 的复势。调和函数 w ϕ(, ) x y 及ψ (, ) x y 分别称为向量场 的势函数和流函数。 w 由于d dd ϕ = + ux vy, 所以称ϕ 是向量场 的势函数，曲线族 w ϕ(, ) x y = 常数 称为等势线，它显然是微分方程 d dd ϕ = ux vy + = 0 的解，亦即在等势线上有 d , d y u x v = − 为什么称ψ 是向量场 w 的流函数呢？我们来看，曲线族 ψ (, ) x y = 常数， 它显然是微分方程 d, dd ψ ( ) xy vx uy = −+ = 0 的解，即有 4
dy 这说明向量场W在每一点处的方向都与曲线v(x,y)=常数的切线方向一致,因此称 v(x,y)=常数为流线,而称v为流函数 显然,等势线与流线彼此正交 综上所述,若在单连通平面区域D内给定一无源、无汇且无旋的向量场,那么,与这 一平面向量场相对应,可在D内确定一个解析函数,即场的复势。反之,给定一个在单连 通区域D内的析函数,就确定一个无源、无汇及无旋的稳定平面场,以已定函数作为复势 例1设一个稳定平面流场的复势是 f(=)=a(a>0 那么在任一点的场向量是 f(-) =a 流函数是u(x,y)=ay,所以流线是直线y=C1 势函数是p(x,y)=ax,所以等势线是直线x=C2 以上a及C都是实常数。流体以等速度a从平面左方向右方流动。(如图2) 例2设一个稳定平面流场的复势是 f(=)= 那么在任一点2≠0的速度是 f(=) 流函数是v(xy)=-x,所以流线是曲线_=C,即与实轴相切于原点的 族圆 势函数是叭(x,y)x2+y2,所以等势线是x=C,即与虚轴相切的一族圆 4C 这时流体从z=0的右侧流进而从左侧流出,z=0可看作是由极相近的一个源和一个 汇所合成的。(如图3)
d . d y v x u = 这说明向量场 在每一点处的方向都与曲线 w ψ (, ) x y = 常数的切线方向一致，因此称 ψ (, ) x y = 常数为流线，而称ψ 为流函数。 显然，等势线与流线彼此正交。 综上所述，若在单连通平面区域 内给定一无源、无汇且无旋的向量场，那么，与这 一平面向量场相对应，可在 内确定一个解析函数，即场的复势。反之，给定一个在单连 通区域 内的析函数，就确定一个无源、无汇及无旋的稳定平面场，以已定函数作为复势。 D D D 例 1 设一个稳定平面流场的复势是 f (z a ) = z ( 0 a > ), 那么在任一点的场向量是 f ′(z a ) = . 流函数是ψ(, ) , x y ay = 所以流线是直线 1 y = C . 势函数是ϕ(, ) , x y ax = 所以等势线是直线 2 x = C . 以上 及a C 都是实常数。流体以等速度 从平面左方向右方流动。 a (如图 2) 例 2 设一个稳定平面流场的复势是 ( ) 1 f z , z = 那么在任一点 z ≠ 0 的速度是 ( ) 2 1 f z . z ′ = − 流函数是 2 2 (, ) , y x y x y ψ − = + 所以流线是曲线 2 2 , y C x y = + 即与实轴相切于原点的一 族圆 2 2 2 1 1 . 2 4 x y C C ⎛ ⎞ ++ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 势函数是 2 2 (, ) , x x y x y ϕ = + 所以等势线是 2 2 , x C x y = + 即与虚轴相切的一族圆 2 2 2 1 1 . 2 4 x y C C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − += ⎝ ⎠ 这时流体从 的右侧流进而从左侧流出， z = 0 z = 0可看作是由极相近的一个源和一个 汇所合成的。(如图 3) 5
例3设一个稳定平面流场的复势是 f()=Ln= 那么在任一点2≠0的速度是 f(=) 流函数是v(x,y)=Arg=,所以流线是直线Argz=C 势函数是p(x,y)=ln所以等势线是圆|=C 这时流体从z=0向各方向流向无穷远:=0可以看作是一个源,z=0可以看作是 个汇。(如图4) 任意作一个围绕原点的简单闭曲线y.在单时间内流体通过曲线y流向无穷远的流量 vdx+udv= Im 丌. 如果我们考虑复势 w=-iLnz 那么它的流线及等势线恰好分别是w=Ln的等势线与流线。这时在z=0有一涡旋,而在 单位时间内沿任何上述曲线y的环量是2x请读者自己详细讨论这种情况。 对例1及例2也可就静电场作出解释。 3.应用 3.1对流体学的应用 在本段中,我们要应用解析函数计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。假定飞机以不 变速度在天空飞行,其速度不超过音速0.6至0.8倍。为了方便,我们把坐标系取在飞机上。 这样,对坐标系而言,飞机是不动的,而空气则冲向飞机而流动。离飞机很远处的空气的速 度可以看成是不变的,把它算作是无穷远处的速度。设想机翼很长,并且考虑垂直机翼的诸 平行平面与机翼相交的截面(称作机翼剖面)。只要这些截面离机身及翼端较远,就可把它 们看成是全等的,而且在它们所在的平面上,空气流动的情形也可看成是相同的。这样,在 上述条件下,研究飞机飞行时围绕机翼的气流情况问题,就化成了不可压缩流体的平面稳定 流动问题。显然这一流动是无源及无汇的,而且根据实验,在飞机速度满足上述条件时,这 一流动也可看作是无旋的 在上述条件下,取离机身及翼端较远的一个机翼剖面的所在平面作为z平面,剖面边 界是带有尖端点的一条简单闭曲线C。这时空气可以看作沿着曲线C流动,亦即气体质点
例 3 设一个稳定平面流场的复势是 f (z Lz ) = n . 那么在任一点 z ≠ 0 的速度是 ( ) 1 f z . z ′ = 流函数是ψ( , ) Arg , x y = z 所以流线是直线 Arg . z C= 势函数是ϕ( , ) ln | |, x y = z 所以等势线是圆| | z C= . 这时流体从 z = 0向各方向流向无穷远； z = 0可以看作是一个源， 可以看作是 一个汇。(如图 4) z = ∞ 任意作一个围绕原点的简单闭曲线γ .在单时间内流体通过曲线γ 流向无穷远的流量 是： d d d Im 2 z vx uy z γ γ π. ⎡ ⎤ −+ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 如果我们考虑复势 w iz = − Ln , 那么它的流线及等势线恰好分别是 w = Lnz 的等势线与流线。这时在 z = 0有一涡旋，而在 单位时间内沿任何上述曲线γ 的环量是 2 . π 请读者自己详细讨论这种情况。 对例 1 及例 2 也可就静电场作出解释。 3．应用 3．1 对流体学的应用 在本段中，我们要应用解析函数计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。假定飞机以不 变速度在天空飞行，其速度不超过音速 至0.8倍。为了方便，我们把坐标系取在飞机上。 这样，对坐标系而言，飞机是不动的，而空气则冲向飞机而流动。离飞机很远处的空气的速 度可以看成是不变的，把它算作是无穷远处的速度。设想机翼很长，并且考虑垂直机翼的诸 平行平面与机翼相交的截面 称作机翼剖面) 。只要这些截面离机身及翼端较远，就可把它 们看成是全等的，而且在它们所在的平面上，空气流动的情形也可看成是相同的。这样，在 上述条件下，研究飞机飞行时围绕机翼的气流情况问题，就化成了不可压缩流体的平面稳定 流动问题。显然这一流动是无源及无汇的，而且根据实验，在飞机速度满足上述条件时，这 一流动也可看作是无旋的。 0.6 ( 在上述条件下，取离机身及翼端较远的一个机翼剖面的所在平面作为 平面，剖面边 界是带有尖端点的一条简单闭曲线 。这时空气可以看作沿着曲线C 流动，亦即气体质点 z C 6
沿着C运动,从而C是一条流线(如图5)。只要知道了曲线C的形状以及气流在无穷远点 的速度(记作实数v),就可在曲线C的外部求出上述流动的复势f(=)以及环量r。换句 话说,f(-)及只与曲线C的形状以及气流在无穷远点的速度2有关 事实上,应用双方单值映照解析函数,可以把曲线C的外部单值映照成一个圆K的外 部。我们可以在圆K外部,求出相应的无源、无汇及无旋平面稳定流动的复势。再应用保 形映照就可求出f(=)及。 设想有一与z平面平行且距离为1的另一平面,并考虑通过C上各点而与两平面垂直的 直线所形成的柱面。我们要计算气流作用与这一柱面上的压力,简称作用在曲线C上的压 力 对于不可压缩流体的平面稳定流动,考虑在每一点与流动平面相垂直的任一具有单位 面积的矩形。这种矩形所受到的压力的大小P由下列公式确定 A-Plwp 这里ν是在这点流动的速度向量,p是流体的密度,A是一个实常数 现在考虑上述流动中的曲线C。因为在C上,压力的方向沿着法线向内,所以作用在 弧长元素ds=d-|上的压力向量的模是p|d|,其辐角是d的辐角加一,于是所求的压力 向量是 pdz e2=Aidz-PIwi d=. 作用在曲线C上的压力向量P是作用在各弧长元素上的压力向量的向量和,即 P idz 2 由于C是一条流线,在曲线C上每一点,速度向量在这点的切线上。令dz=eds,我们 有 v=±|w|e 其中±号应适当取定。又因v=f(-),我们有 dz
沿着C 运动，从而 是一条流线(如图 5)。只要知道了曲线 的形状以及气流在无穷远点 的速度 记作实数 C C ( w ) ∞ ，就可在曲线 的外部求出上述流动的复势 C f (z)以及环量 。换句 话说， Γ f (z)及 只与曲线 Γ C 的形状以及气流在无穷远点的速度 w∞ 有关。 事实上，应用双方单值映照解析函数，可以把曲线C 的外部单值映照成一个圆 K 的外 部。我们可以在圆 K 外部，求出相应的无源、无汇及无旋平面稳定流动的复势。再应用保 形映照就可求出 f (z)及 。 Γ 设想有一与 平面平行且距离为1的另一平面，并考虑通过 上各点而与两平面垂直的 直线所形成的柱面。我们要计算气流作用与这一柱面上的压力，简称作用在曲线C 上的压 力。 z C 对于不可压缩流体的平面稳定流动，考虑在每一点与流动平面相垂直的任一具有单位 面积的矩形。这种矩形所受到的压力的大小 p 由下列公式确定 2 | |, 2 pA w ρ = − （5） 这里 w 是在这点流动的速度向量， ρ 是流体的密度， A 是一个实常数。 现在考虑上述流动中的曲线 。因为在 上，压力的方向沿着法线向内，所以作用在 弧长元素d | 上的压力向量的模是 ，其辐角是d C C s z = d | p z |d | z 的辐角加 2 π ，于是所求的压力 向量是 2 2 d d| 2 i i z e Ai z w z | d π ρ p ⋅= − 。 作用在曲线C 上的压力向量 是作用在各弧长元素上的压力向量的向量和，即 P 2 d | 2 C C i P pi z w| dz ρ = =− ∫ ∫ 。 由于C 是一条流线，在曲线C 上每一点，速度向量在这点的切线上。令 ，我们 有 d i zes ϕ = d | | i w we ϕ = ± ， 其中 号应适当取定。又因 ± w fz = ′( ) ，我们有 ( ) 2 2 d 2 i C i P fz e ϕ z ρ − = − ⎡ ⎤ ′ ∫⎣ ⎦ ( ) 2 d 2 C i f z z ρ = − ⎡ ′ ⎤ ∫⎣ ⎦ ， 7
其中ed=eds=d,在上式中取共轭复数,我们就得到下列公式 P=PJ[r()]ds 在这里积分是按正方向取的 现在进一步计算式(6)中积分的数值。由于limf()=2(选坐标轴使在无穷远点 的速度向量为正实数n),可见无穷远点是f(-)的可去奇异点。于是在以原点为心的某 圆的外部,f(二)有罗朗级数展式 ∫(=)=W2++2+…+ 因此 20r(=c 用l及v表示w的实部及虚部。因为通过C流向它外方的流量是零,所以我们有 ∫r()=∫(x-m)(x+) =udx +rdy +il udy -wdx=r 其中r为一实数。因而在上述圆的外部,我们有 T 1 C [r(=呢+y+ 其中c2,C2…是复常数。于是由式(6), P 32m."F 最后我们得到茹可夫斯基升力公式: P=-ipw T 由此可见,机翼所受升力的大小是p。|F|,而升力的方向与W。的方向正交。如果r 为正,升力的方向指向虚轴下方;如果r为负,升力的方向指向虚轴上方。 上面已经指出,如果知道了机翼截面的形状,那么给出1,可求出F的值,从而可求 出升力P的值。这样,升力的大小与机翼截面的形状有关。在航空工业中,要根据升力的 大小来设计翼型,不仅要使飞机能在天空飞行,而且要符合起飞和降落快慢的要求
其中 2 d d i i e ze s − − ϕ ϕ = = dz ，在上式中取共轭复数，我们就得到下列公式： ( ) 2 d 2 C i P fz z ρ = ⎡ ′ ⎤ ∫⎣ ⎦ 。 （6） 在这里积分是按正方向取的。 现在进一步计算式（6）中积分的数值。由于lim ( ) z f z w∞ →∞ ′ = ( 选坐标轴使在无穷远点 的速度向量为正实数 ，可见无穷远点是 w ) ∞ f ′(z) 的可去奇异点。于是在以原点为心的某一 圆的外部， f ′(z) 有罗朗级数展式： ( ) 1 2 2 n n cc c fz w zz z −− − ∞ ′ = + + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ 因此 ( ) 1 1 d 2 C f zz c πi − ′ = ∫ 。 用u 及 表示 的实部及虚部。因为通过 v w C 流向它外方的流量是零，所以我们有 ( )d ( )d( C C f ′ z z u iv x iy = − + ) ∫ ∫ dd dd C C = ux vy iuy vx ++ −= ∫ ∫ Γ 。 其中 为一实数。因而在上述圆的外部，我们有 Γ ( ) 2 2 1 2 c fz w πiz z − ∞ Γ ′ = + ⋅ + +⋅⋅⋅， ( ) 2 2 2 2 w c 1 fz w πiz z ∞ − ∞ Γ ′ ⎡ ⎤ ′ = + ⋅ + +⋅ ⎣ ⎦ ⋅⋅ ， 其中 是复常数。于是由式（6）， 2 2 c c, , − −′ ⋅⋅⋅ 2 2 i w P i i ρ π π ∞Γ =⋅ ⋅ 。 最后我们得到茹可夫斯基升力公式： P iw = − Γ ρ ∞ 。 由此可见，机翼所受升力的大小是 ρw | | ∞ Γ ，而升力的方向与 w∞ 的方向正交。如果Γ 为正，升力的方向指向虚轴下方；如果Γ 为负，升力的方向指向虚轴上方。 上面已经指出，如果知道了机翼截面的形状，那么给出 w∞ ，可求出 的值，从而可求 出升力 的值。这样，升力的大小与机翼截面的形状有关。在航空工业中，要根据升力的 大小来设计翼型，不仅要使飞机能在天空飞行，而且要符合起飞和降落快慢的要求。 Γ P 8
3.2对电学的应用 我们可以应用保形映照求静电场。 例4设有两同心金属圆柱与z平面的截线为|二F=及|z|=F(00),电势差为2V。求所产生的静电场。 由于构成电容器的金属板较大,可设所得截线为射线x≥a,y=0及x≤-a,y=0 现求平面静电场的复势,即求在上两射线割开的平面内解析、且其虚部在左、右两射线的上 沿及下沿分别为-及的函数W=F(=)。因此w=F()把割开的平面双方单值保形映
3．2 对电学的应用 我们可以应用保形映照求静电场。 例 4 设有两同心金属圆柱与 z 平面的截线为 1 | | z r = 及 2 12 | | (0 ) zr rr = 0 2V 由于构成电容器的金属板较大，可设所得截线为射线 x ay ≥ = , 0 及 x ≤ −a , 0 y = 。 现求平面静电场的复势，即求在上两射线割开的平面内解析、且其虚部在左、右两射线的上 沿及下沿分别为 −V0 及V0 的函数 w Fz = ( ) 。因此 w Fz = ( ) 把割开的平面双方单值保形映 9
照成W平面上的带形-1<Im(w)<V,而使左、右两割线分别与Im(w)=-0 Im(v)=1相对应。 在z平面上的已给两射线,可以看作连接-a及a并且通过∞的“圆弧”。分式线性函 2+a 数= 把这“圆弧”映照成2平面上连接0及∞的“圆弧”即正实轴,而把己给区域 映照成。平面上除去正实轴而得的区域。(如图7(b)) 函数O=√5把平面上这一区域映照成上半O平面。为了得到所求的边界对应关 作分式线性函数O1=k (k为任一正的常数),把上半O平面映照成上半O1平 并且把A,F及D,C映照成0及∞。 最后作映照w=nO1+常数,就得到所求带形
照成 平面上的带形 ，而使左、右两割线分别与 ， 相对应。 w 0 −< < V w Im( ) V0 0 Im( ) w V = − 0 Im( ) w V= 在 z 平面上的已给两射线，可以看作连接 −a 及 a 并且通过∞ 的“圆弧”。分式线性函 数 z a z a ζ + = − 把这“圆弧”映照成ζ 平面上连接0 及∞ 的“圆弧”即正实轴，而把已给区域 映照成ζ 平面上除去正实轴而得的区域。（如图 7(b)） 函数ω ζ = 把ζ 平面上这一区域映照成上半ω 平面。为了得到所求的边界对应关系， 作分式线性函数 1 1 1 k ω ω ω + = − （ k 为任一正的常数），把上半ω 平面映照成上半ω1 平面， 并且把 A,F 及 映照成 及 。 D C, 0 ∞ 最后作映照 0 1 2 ln V w ω π = + 常数，就得到所求带形。 10