第二部分 数学物理方程
Wu Chong-shi
第十二章数学物理方程和定解条件 1.一长为l、横截面积为S的均匀弹性杆,已知一端(x=0)固定,另一端(x=D) 在杆轴方向上受拉力F作用而得到平衡(见图12.1).在t=0 时,撤去外力F.试列出杆的纵振动所满足的方程、边界条件 和初始条件 2.在铀块中,除了中子的扩散运动外,还存在中子的吸收 和增殖过程.设在单位时间内、单位体积中吸收和增殖的中子 数均正比于该时刻、该处的中子浓度u(r,t),因而净增中子数可表 为au(r,t),a为比例常数.试导出u(r,t)所满足的偏微分方程 3.有长为l的均匀细杆,现通过其两端、在单位时间内、经 单位面积分别供给热量q1与q2.试写出相应的边界条件 4.有一半径为a、表面涂黑的金属球,暴晒于日光下(见图 12.2),在垂直于光线的单位面积上,单位时间内吸收热量M.同 时,球面按 Newton冷却定律散热(不妨取周围介质的温度为0) 试在适当的坐标系中写出边界条件 第十三章线性偏微分方程的通解 1.求下列线性齐次偏微分方程的通解 a-u a1 0 0; a2u/c2 a +a2=0,b≠0 2.求下列线性非齐次偏微分方程的通解 ar2 dy2-+ry dy ay 3.求解偏微分方程 du dy
Wu Chong-shi 16 ❅ ❹ ✂ ✄✹✾✆ ✞❳❨✱éê✟✰✿❩❬ 1. ❞❭✛ l ✔❪❫■ ➓✛ S ✑✰❴❵➯❛✷❙❚ ❞❜ (x = 0) ❝✈✷❞❞❜ (x = l) ❸ 12.1 ❃❛➁▲❡✽❢❣❤ F ❼✧✐❥❥❍❦ (❧✪ 12.1) P❃ t = 0 ✼✷♠♥✭ ❤ F P❯✍☞❛✑♦♣❣qrs✑▲▼✔❲t✉✈ ✗■✇✉✈P 2. ❃①②④✷ ③④④☛✑⑤⑥⑦❣ ✭ ✷❪ ❈ ❃④☛✑⑧➫ ✗⑨⑩❶▼P❘❃❬➛✼❷➅✔❬➛❸➓④⑧➫✗⑨⑩✑④☛ ✏✰❾❹ ❺ ⑧✼❻✔⑧❄✑④☛❼❽ u(r, t) ✷✤✐❾⑨④☛✏❅✬ ✛ αu(r, t) ✷α ✛❹✡✯✏P❯❆☞ u(r, t) qrs✑❿ï◆▲▼P 3. ❶❭✛ l ✑✰❴➀❛✷➁➂❶❈♥❜✔❃❬➛✼❷ ➅✔➃ ❬➛■ ➓◆❖➄➎➅➆ q1 ➲ q2 P❯☛☞ß➇✑❲t✉✈P 4. ❶❞➝➐✛ a ✔✬■➈➉✑➊➋➌✷➍➎❺ ➏➐ ✌ (❧✪ 12.2) ✷❃➑➒❺➐⑥ ✑❬➛■ ➓✽✷❬➛✼❷➅⑧➫➅➆ M P✻ ✼✷➌ ■ ➍ Newton ➓➔✈→⑥➅ (➻➣②❤↔ ↕ ã✑➙❽✛ 0) P ❯❃➛❺✑❏❑✦④☛☞❲t✉✈P ❸ 12.2 ✄✹➊✆ ➜➝➞è➌éêë➟✿ 1. ✱✌✍⑥ ➯➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y − 3 ∂ 2u ∂y2 = 0; (2) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + 2 ∂ 2u ∂y2 = 0; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y = 0; (4) ∂ 2u ∂t2 = c 2 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r , c 6= 0; (5) a 2 − b 2 ∂ 2u ∂x2 + 2a ∂ 2u ∂x∂t + ∂ 2u ∂t2 = 0, b 6= 0; (6) ∂ 4u ∂x4 − ∂ 4u ∂y4 = 0. 2. ✱✌✍⑥ ➯➢➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + xy; (2) ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 = xy − x; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + y. 3. ✱❉❿ï◆▲▼✚ (1) x 2 ∂ 2u ∂x2 − 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 + x ∂u ∂x + y ∂y ∂y = 0;
(=2-y2)sin ry 4.求偏微分方程 0 的通解,并进一步求出它在初始条件 =0=),a=() 下的解 第十四章分离变量法 1.长为l、两端固定的均匀弦,初始时,弦被拉开如图 141,达到平衡后突然放手.求解此问题 2.长为2的均匀杆,两端受力作用而分别压缩了al t=0时撤去外力.求解此杆的纵振动问题 3.求解细杆的导热问题.杆长l,两端(x=0,0)均保 图14.1 持为零度,初始温度分布为2=0= 4.一均匀各向同性的弹性薄膜,0≤x≤l,0≤y≤l,四周夹紧.初始位移为Ary( r)(l-y),初始速度为0.求解膜的横振动 5.求解 a2u a2u 2+a2=0, loy, 其中为已知常数 6.求解 02202n ar2 ba(l-r), 0, 0, 元lt=0 7.求解第十二章第1题 8.一细长杄,=0端固定,x=l端受周期力 Asin wt作用.求解此杆的纵振动问题 设初位移和初速度均为0
Wu Chong-shi ❱ ❲ 17 (2) ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 = x 2 − y 2 sin xy. 4. ✱❿ï◆▲▼ ∂ ∂x 1 − x l 2 ∂u ∂x − 1 a 2 1 − x l 2 ∂ 2u ∂t2 = 0 ✑➂❉✷❇➤❞➥✱☞❷❃■✇✉✈ u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x) ✌✑❉P ✄✹➥✆ ➌➦✠➧í 1. ❭✛ l ✔♥❜❝✈✑✰❴➨✷■✇✼✷➨➩❣Õ✸✪ 14.1 ✷➫ ❥❍❦ ❧➭➯➲➳P✱❉➾ ⑨❏P 2. ❭✛ 2l ✑✰❴❛✷♥❜❢❤❼✧✐◆❖➵➸④ αl P t = 0 ✼♠♥✭ ❤P✱❉➾ ❛✑♦♣❣⑨❏P 3. ✱❉➀❛✑❆➅⑨❏P❛❭ l ✷♥❜ (x = 0, l) ✰➺ ➻ ✛➼❽✷■✇➙❽◆➽✛ u t=0 = b x(l − x) l 2 P ❸ 14.1 4. ❞✰❴➾❡✻➯✑❵➯➚➪✷ 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l ✷Ø❤➶➹P■✇➛❢✛ Axy(l − x)(l − y) ✷■✇➘❽✛ 0 P✱❉➪✑❪♣❣P 5. ✱❉✚ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, u x=0 = u0, u x=a = u0y, ∂u ∂y y=0 = 0, ∂u ∂y y=b = 0, ❈④✛❙❚ ✯✏P 6. ✱❉✚ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = bx(l − x), u x=0 = 0, u x=l = 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0. 7. ✱❉➴➷î➬➴ 1 ❏P 8. ❞➀❭❛✷ x = 0 ❜❝✈✷ x = l ❜❢❤❆❤ A sin ωt ❼✧P✱❉➾ ❛✑♦♣❣⑨❏P ❘■➛❢✗■➘❽✰✛ 0 P
9.在矩形区域0≤x≤a,-b/2≤y≤b/2中求解 (1)V2a=-2 (2)V2=-x2 u在边界上的数值均为0 10.试求下列定解问题之解 022O2u 0. dr ult=o=cos t, of =0 SIn 11.求解下列定解问题 Aexp [-ant, uls=Bexp-B2xty 12.当层状铀块的厚度超过一定临界值时,中子浓度将随时间而增高,以致引起铀块爆 炸.这就是原子弹爆炸的基本过程.试估计层状铀块的临界厚度.中子浓度满足的偏微分方程 见第十二章第2题,假定边界条件为齐次的第一类边界条件. 第十五章正交曲面坐标系 1.一个半径为a的无穷长空心导体圆柱,分成两半,互相绝缘.一半电势为V,另 半电势为一V.求柱内的电势分布 2.半径为a、表面熏黑的均匀金属圆柱,平放在地上,受到阳光照射,在垂直于光线的 单位面积上单位衰减内吸收热量为M,同时,柱面按 Newton冷却定律向外散热.试求柱内 的稳定温度分布.取外界温度为0,并设圆柱为无穷长 3.求在环形区域a≤r≤b内满足边界条件 f(o),u-h=g(o 的调和函数 4.在圆域0≤x2+y2≤a2上求解 (1)v2a=-4 (01u=4(+0)
Wu Chong-shi 18 ❅ ➮ ✂ 9. ❃➱✫➃➄ 0 ≤ x ≤ a, −b/2 ≤ y ≤ b/2 ④✱❉✚ (1) ∇2u = −2, (2) ∇2u = −x 2y, u ❃❲t✽✑✏❭✰✛ 0 P 10. ❯✱✌✍✈❉⑨❏➚❉✚ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, u x=0 = cos π l at, ∂u ∂x x=l = 0, u t=0 = cos π l x, ∂u ∂t t=0 = sin π 2l x. 11. ✱❉✌✍✈❉⑨❏✚ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = 0, u x=0 = A exp − α 2κt , u x=l = B exp − β 2κt , u t=0 = 0. 12. ❺✃❐①②✑❒❽❮❶❞✈❰t❭✼✷④☛❼❽ÓÏ✼❷✐⑨Ð✷✎ÑÒÓ①②Ô Õ P ⑩Ö ✜ ❦ ☛❵ÔÕ ✑×➆❶▼P❯Ø➑✃❐①②✑❰t❒❽P④☛❼❽rs✑❿ï◆▲▼ ❧➴➷î➬➴ 2 ❏✷Ù✈❲t✉✈✛➠➡✑➴❞✧❲t✉✈P ✄✹Ð✆ ÚÛÜÝÞßà 1. ❞❡➝➐✛ a ✑ÛÜ❭áâ❆❸➜ ã ✷◆➣♥➝✷☞ ß➳äP❞➝å æ ✛ V ✷❞❞ ➝å æ ✛ −V P✱ã ➅✑å æ ◆➽P 2. ➝➐✛ a ✔✬■ç➉✑✰❴➊➋➜ ã ✷ ❍ ➲❃✩✽✷❢ ❥è➐éê✷❃➑➒❺➐⑥ ✑ ❬➛■ ➓✽❬➛ëì➅⑧➫➅➆✛ M ✷✻✼✷ã■ ➍ Newton ➓➔✈→❡✭ ⑥➅P❯✱ã ➅ ✑í✈➙❽◆➽P②✭ t➙❽✛ 0 ✷❇❘➜ã ✛ÛÜ❭P 3. ✱❃î✫➃➄ a ≤ r ≤ b ➅rs❲t✉✈ u r=a = f(φ), u r=b = g(φ) ✑ï✗✣✏P 4. ❃➜➄ 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 ✽✱❉✚ (1) ∇2u = −4, u x2+y 2=a2 = 0; (2) ∇2u = −4y, u x2+y 2=a2 = 0; (3) ∇2u = −4xy, u x2+y2=a2 = 0; (4) ∇2u = −4(x + y), u x2+y2=a2 = 0
5.一个由理想导体做成的无穷长波导管,其截面均匀,如图15.1所示.管内为真空 假定一个平面(即图中的一条直边)的电势为V,其余面上 的电势均为0.试求波导管内的电势分布 6.求解球内的定解问题: at-d( dr l=0有界,a-1=Aexp{- 提示1(m)=m 第十六章球函数 (在下列各题中,k,l均为自然数 1.证明: Px(r)Pl(r)dr=(1-12) Pk()P(a)-P(a)Pk(a) k(k+1)-1(+1) 2.计算积分 (1+r)"P(a)dz, 注意分别讨论k≥l和k,l两种情形 3.计算下列积分 (1)/Px)ln(1-)dr (2)/P(x)(1-x)-odx,0<a<1 4.从 Legendre多项式的生成函数证明 (1)P(-1/2)=∑Pk(-1/2)P2-k(1/2)(2)P(cos2)=∑(-)P2(csO)P2-k(os8) k=0 5.计算下列积分 (1)/Pk(a)Pi(=r)dr (2)/zP(r)Pl+1(a)dr (3)/x2P2(x)P2+2(x)dx; (4)/P(x)dr 6.将下列定义在[-1,1上的函数按 Legendre多项式展开 (2)f(x)=√1-2xt+t (3)f(x)= (4)f(x)=2x+l
Wu Chong-shi ❱ ❲ 19 5. ❞❡ ↕ðñ❆❸ò➣✑ÛÜ❭ó❆ô✷❈❫ ■ ✰❴✷✸✪ 15.1 q✭Pô ➅✛õáP Ù✈❞❡❍■ (❇✪④✑❞✉➒❲) ✑å æ ✛ V ✷❈ö ■ ✽ ✑å æ ✰✛ 0 P❯✱ó❆ô➅✑å æ ◆➽P 6. ✱❉➌➅✑✈❉⑨❏✚ ∂u ∂t − κ r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r = 0, u r=0 ❶t, u r=1 = A expn − (pπ) 2κto , u t=0 = 0. ➪➶✚1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r ≡ 1 r ∂ 2 (ru) ∂r2 . ❸ 15.1 ✄✹æ✆ ÷✡✞ (❃✌✍➾❏④✷ k, l ✰✛ ø➯✏) 1. ❋●✚ Z 1 x Pk(x)Pl(x)dx = 1−x 2 P 0 k (x)Pl(x)−P 0 l (x)Pk(x) k(k + 1)−l(l + 1) , k 6=l. 2. ➑➒➓◆ Z 1 −1 (1 + x) kPl(x)dx, ù ✫◆❖❛❜ k ≥ l ✗ k, l ♥úû✫P 3. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 −1 Pl(x) ln(1 − x)dx; (2) Z 1 −1 Pl(x)(1 − x) −αdx, 0 < α < 1. 4. ü Legendre ❫Ù❄✑ý➣✣✏❋●✚ (1) Pl(−1/2) = X 2l k=0 Pk(−1/2)P2l−k(1/2); (2) Pl(cos 2θ) = X 2l k=0 (−) kPk(cos θ)P2l−k(cos θ). 5. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 0 Pk(x)Pl(x)dx; (2) Z 1 −1 xPl(x)Pl+1(x)dx; (3) Z 1 −1 x 2Pl(x)Pl+2(x)dx; (4) Z 1 −1 h xPl(x) i2 dx; 6. Ó✌✍✈➀❃ [−1, 1] ✽✑✣✏➍ Legendre ❫Ù❄ÔÕ✚ (1) f(x) = x 2 ; (2) f(x) = √ 1 − 2xt + t 2; (3) f(x) = |x| ; (4) f(x) = 1 2 x + |x| .
7.求解空心球壳内的定解问题: a<r< b r=b 8.求解球内的定解问题 V2u=0,0<r<a,0<6< u1=0有界,al==on(a-6) 9.求解第十二章第4题 10.一完全柔软的均匀细线,x=0端固定在匀速转动的轴上,角频率为,另一端 (x=1)自由.在重力可以忽略的条件下,由于惯性离心力的作用,此细线的平衡位置为水平 线.当此线相对于平衡位置作横振动时,方程及定解条件为 ul=有界 |t=0 v(r) 试求解此定解问题 11.设有一半径为a的导体半球,球面温度为常数u0,底面温度为0.求半球内的稳定 温度分布 12.有一半径为b的接地导体球壳,内部放有一个圆环,环的半径为a,环心与球心重 合,环上均匀带电,总电量为Q.求球内的电势分布 3.将下列函数按球谐函数YP(6,)展开: (2)(1+cos 0)sin 8 cos o 4.一半径为的均匀导体球,表面温度为 (1)ulsa= Pl(cos e)cosp: (2)ulsa=P1(cos 0)sin 0 cos o 试求出球内的稳定温度分布 15.求解球内问题 V2u=A+Br 2 sin 20 cos o 其中A,B为已知常数
Wu Chong-shi 20 ❅ å ✂ 7. ✱❉áâ➌þ➅✑✈❉⑨❏✚ ∇2u = 0, a < r < b, u r=a = u0, u r=b = u0cos2 θ. 8. ✱❉➌➅✑✈❉⑨❏✚ ∇2u = 0, 0 < r < a, 0 < θ < π, u r=0 ❶t, u r=a = u0η(α − θ). 9. ✱❉➴➷î➬➴ 4 ❏P 10. ❞ÿ✇✁✑✰❴➀⑥ ✷ x = 0 ❜ ❝✈❃❴➘✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛ ω ✞☞✌✍ (x = l) ✎ ✏ ✑✒✓✔✕✖✗✘☎✙✚✛✞✏✜✢✣✤✥✔☎✦✧✞★✩✪☎✫✬✭✮☛✯✫ ✪✑✰★✪✱✲✜ ✫✬✭✮✦✳✴✄✵✞✶✷✸✹✺✙✚☛ ∂ 2u ∂t2 − ω 2 2 ∂ ∂x h l 2 − x 2 ∂u ∂x i = 0, u x=0 = 0, u x=l ✻✼, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x). ✽✾✺★✹✺✿❀✑ 11. ❁✻✌❂❃☛ a ☎❄❅❂❆✞❆❇❈❉☛❊❋ u0 ✞ ● ❇❈❉☛ 0 ✑✾ ❂❆❍☎■✹ ❈❉❏❑✑ 12. ✻✌❂❃☛ b ☎▲▼❄❅❆◆✞❍❖P✻✌◗ ❘❙ ✞ ❙ ☎❂❃☛ a ✞ ❙✥❚❆ ✥ ✓ ❯ ✞ ❙ ✝❱❲❳❨✞❩❨❬ ☛ Q ✑✾ ❆❍☎❨❭ ❏❑✑ 13. ❪✛❫❴❋❵❆❛❴❋ Ym l (θ, φ) ❜❝❞ (1) sin2 θcos2φ; (2) 1 + cos θ sin θ cos φ. 14. ✌❂❃☛☎❱❲❄❅❆✞❡❇❈❉☛❞ (1) u r=a = P1 1 (cos θ) cos φ; (2) u r=a =P1(cos θ) sin θ cos φ. ✽✾❢❆❍☎■✹❈❉❏❑✑ 15. ✾ ✺❆❍✿❀❞ ∇2u = A + Br2 sin 2θ cos φ, u r=a = 0, ❣❤ A, B ☛✐❥ ❊❋✑
第十七章柱函数 1.证明 (1)cosx=Jo(x)-2J2(x)+2J4(x)-+…,(2)x=21+3J3(x)+5J(x)+ sinx=2J1(x)-2J3(x)+2J(x)-+…; 3)x2=2∑(2n)2J2n(x) (4)J(x)+2∑](x)=1 2.将函数f()=cos(sin6)和g()=sin(sin)展开为 Fourier级数 3.计算下列积分 (1)/xn+1(a)dr (2)/2Jo(r)dr Jo(va(t-r)dr (4)/[√x(t-)J(√(-x)dr 4半径为R的圆形膜,边缘固定,初始形状呈旋转抛物面 A(1 R2 形,初速为0.求解圆膜的横振动问题 5.求解下列定解问题 u,=0有界,ul== 一长为丌、半径为1的圆柱形导体,柱体的侧面和上下底的温度均保持为0,初始时 柱体内的温度分布为f(r)sinz,求柱体内温度的分布与变化 7.一空心圆柱,内半径为a,外半径为b,维持内外柱面的温度为0.又设柱体高h 上下底绝热,初温为uo,求柱体内温度的分布与变化 8.半径为R的圆形模,边缘固定,在单位质量上受周期力 (1)f(r, t)=Asin wt, (2)f(r,t)=A(1 R 的作用,求解圆膜的强迫振动,设初位移与初速度均为0 9.计算下列积分 (1)/√-xsn(avad,a>0(2)/eaJ(a)dx,a>0,b≥0 (3)/e-a J,(br)z+ldr U>-1,a>0,b>0;
Wu Chong-shi ❦ ❧ 21 ♠♥♦♣ qrs 1. t✉❞ (1) cos x = J0(x)−2J2(x)+2J4(x)− +· · · , (2) x = 2 J1 + 3J3(x) + 5J5(x) + · · · ; sin x = 2J1(x)−2J3(x)+2J5(x)− +· · · ; (3) x 2 = 2X∞ n=1 (2n) 2 J2n(x); (4) J2 0 (x) + 2X∞ n=1 J 2 n (x) = 1. 2. ❪❴❋ f(θ) = cos(x sin θ) ✈ g(θ) = sin(x sin θ) ❜❝☛ Fourier ✇❋✑ 3. ①②✛❫③❏❞ (1) Z x 0 x −n Jn+1(x)dx; (2) Z a 0 x 3 J0(x)dx; (3) Z t 0 J0 p x(t − x) dx; (4) Z t 0 p x(t − x) n Jn p x(t − x) dx. 4. ❂❃☛ R ☎❘④⑤✞⑥⑦⑧✹✞⑨⑩④❶❷❸❹❺❻❇ u t=0 = A 1 − r 2 R2 ④ ✞⑨❼☛ 0 ✑✾ ✺❘⑤ ☎✳✴✄✿❀✑ 5. ✾ ✺✛❫✹✺✿❀❞ ∂u ∂t − κ h 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 i = 0, u r=0 ✻✼, u r=a = 0, u t=0 = u0 sin 2φ. 6. ✌❽☛ π ❾❂❃☛ 1 ☎❘❿④❄❅✞❿ ❅☎➀❇✈✝✛● ☎❈❉❱➁➂☛ 0 ✞⑨⑩✵ ❿ ❅❍☎❈❉❏❑☛ f(r) sin z ✞ ✾❿❅❍❈❉☎❏❑❚➃➄✑ 7. ✌➅✥ ❘ ❿ ✞❍❂❃☛ a ✞ ➆ ❂❃☛ b ✞ ➇ ➂❍➆❿❇☎❈❉☛ 0 ✑➈ ❁ ❿ ❅➉ h ✞ ✝✛●➊➋✞⑨❈☛ u0 ✞ ✾❿❅❍❈❉☎❏❑❚➃➄✑ 8. ❂❃☛ R ☎❘④➌✞⑥⑦⑧✹✞✒➍✭➎❬ ✝➏➐➑✔ (1) f(r, t) = A sin ωt, (2) f(r, t) = A 1 − r 2 R2 sin ωt ☎✦✧✞✾ ✺❘⑤ ☎➒➓✴✄✞❁⑨✭➔❚ ⑨❼❉❱☛ 0 ✑ 9. ①②✛❫③❏❞ (1) Z 1 0 √ 1 − x sin a √ x dx, a > 0; (2) Z ∞ 0 e −axJ0 √ bx dx, a > 0, b ≥ 0; (3) Z ∞ 0 e −axJν(bx)x ν+1dx, ν > −1, a > 0, b > 0;
(4)/ex{-a2yJ(b)x+dx,v>-1,a>0,b>0 10.一导,球,半径为a,初温为常数,球面温度为0.求球内温度的题布和变化 11.计算积题 e-axn2 cos br lo(-)dx,其中a>0,b>0 (2) Jo(ar)Ko(B r)rdr, a>0, Re B>0. 12.高为h、半径为a的圆柱,,上下底保持温度为0,而柱面温度为ms22,求柱 内的稳定温度题布.这里取定上下底所在的平面题别为z=h和z=0 13.将下列匀数在t=0的邻域内作 Taylor端固 (1)-sin√z2+2,规定√z2+2 (2)-cos√z2-2,规定√z2-2 2 (3) sinh V2-2i,规定√2-2it=x; (4)cosh√2+2it,规定√2+2i2 14.求长圆柱形和圆形铀块的临界半径 第十八章分离变量法总结 1.将下列方程化为Stum- Liouville型方程的标准形式 (1)xd2+2a+(z+)y=0 (2)r(1 d-y 2.求解本征值问题 d +R=0 R(a)=0,R(b)=0 其中b>a>0 3.设有本征值问题 dlpez)+Ap(a)-g(z)]y=0, y(b)=aly(a)+a12y'(a), (b) (a)
Wu Chong-shi 22 → ➣ ↔ ↕ (4) Z ∞ 0 exp − a 2x 2 Jν(bx)x ν+1dx, ν > −1, a > 0, b > 0. 10. ✌❄❅❆✞❂❃☛ a ✞⑨❈☛❊❋ u0 ✞❆❇❈❉☛ 0 ✑✾ ❆❍❈❉☎❏❑✈➃➄✑ 11. ①②③❏❞ (1) Z ∞ 0 e −ax/2 sin bx I0 ax 2 dx, Z ∞ 0 e −ax/2 cos bx I0 ax 2 dx, ❣❤ a > 0, b > 0 ➙ (2) Z ∞ 0 J0(αx)K0(βx)xdx, α > 0, Re β > 0. 12. ➉☛ h ❾❂❃☛ a ☎❘❿ ❅✞✝✛● ➁➂❈❉☛ 0 ✞ ➛❿ ❇❈❉☛ u0 sin 2π h z ✞ ✾❿ ❅❍☎■✹❈❉❏❑✑➜➝➞✹✝✛●➟✒☎✫❇❏➠☛ z = h ✈ z = 0 ✑ 13. ❪✛❫❴❋✒ t = 0 ☎➡➢❍✦ Taylor ❜❝❞ (1) 1 z sin √ z 2 + 2zt ✞➤✹ √ z 2 + 2zt t=0 = z; (2) 1 z cos √ z 2 − 2zt ✞➤✹ √ z 2 − 2zt t=0 = z; (3) 1 z sinh √ z 2 − 2izt ✞➤✹ √ z 2 − 2izt t=0 = z; (4) 1 z cosh √ z 2 + 2izt ✞➤✹ √ z 2 + 2izt t=0 = z. 14. ✾ ❽❘❿④✈❘④➥➦☎➧✼❂❃✑ ♠♥➨♣ ➩➫➭➯➲➳➵ 1. ❪✛❫✶✷➄ ☛ Sturm–Liouville ➸✶✷☎➺➻④➼❞ (1) x d 2y dx 2 + 2 dy dx + (x + λ)y = 0; (2) x(1 − x) d 2y dx 2 + (a − bx) dy dx − λy = 0; (3) x d 2y dx 2 + (1 − x) dy dx + λy = 0; (4) d 2y dx 2 − 2x dy dx + 2λy = 0. 2. ✾ ✺➽➾➚✿❀❞ 1 r d dr r dR dr + λ r 2 R = 0, R(a) = 0, R(b) = 0, ❣❤ b > a > 0 ✑ 3. ❁✻➽➾➚✿❀ d dx h p(x) dy dx i + λρ(x) − q(x) y = 0, y(b) = α11y(a) + α12y 0 (a), y 0 (b) = α21y(a) + α22y 0 (a),
其中p(a)=p(b).试证明,当 时,对应不同本征值的本征函数正交 4.设本征值问题 型 的解(本征函数)为重k,对应的本征值为λk,这里的k是本征值的编号.试证明:当A=0 不是本征值时, Poisson方程的第一类边值问题 的解为 A Ak是非齐次项∫按{k}展开的系数 Ak更 这里假设重k已归一化 5.用第4题的方法求解矩形区域0≤x≤a,0≤y≤b内 Poisson方程的定解问题 0 第十九章积分变换 1.用 Laplace变换求解半无界问题: Ox2=0, x>0,t>0, u2=0=0,叫有界,t>0, =0=0 2.设有两个半无界杆,温度分别为0和u0,在t=0时将两杆端点相接,求t>0时杆 中各点的温度分布
Wu Chong-shi ❦ ❧ 23 ❣❤ p(a) = p(b) ✑✽ t✉✞✰ α11 α12 α21 α22 = 1 ✵✞✲➪➶➹➽➾➚☎➽➾❴❋➘➴✑ 4. ❁➽➾➚✿❀ ∇2Φ + λΦ = 0, Φ Σ = 0 ☎✺ (➽➾❴❋) ☛ Φk ✞✲➪☎➽➾➚☛ λk ✞➜➝☎ k ➷➽➾➚☎➬➮✑✽ t✉❞✰ λ = 0 ➶➷➽➾➚✵✞ Poisson ✶✷☎➱✌✃⑥➚✿❀ ∇ 2u = −f, u Σ = 0 ☎✺☛ u = X k Ak λk Φk, Ak ➷❐❒❮❰ f ❵ {Φk} ❜❝☎Ï❋✞ f = X k AkΦk. ➜➝Ð❁ Φk ✐ Ñ ✌ ➄ ✑ 5. ✧➱ 4 ❀☎✶Ò✾ ✺Ó④Ô➢ 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ❍ Poisson ✶✷☎✹✺✿❀ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = −f(x, y), u x=0 = 0, u x=a = 0, u y=0 = 0, u y=b = 0. ♠♥Õ♣ Ö➩➭× 1. ✧ Laplace ➃Ø✾ ✺❂Ù✼✿❀❞ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = 0, x > 0, t > 0, u x=0 = u0, u x→∞ ✻✼, t > 0, u t=0 = 0, x > 0. 2. ❁✻Ú◗❂Ù✼Û✞❈❉❏➠☛ 0 ✈ u0 ✞✒ t = 0 ✵❪ÚÛ✍Ü✱▲✞✾ ❤Ý t > 0 ✵Û Ü☎❈❉❏❑✑
3.利用 Laplace变换求解第十四章第11题 4.用 Fourier变换方法求解一维无界弦上的强迫振动问题 ∫(x,t), 5.用 Fourier变换方法求解二维无界平面上的自由振动问题 a2u u=0=(r,y) v(r, y 6.一半无界弦x≥0,原处于平衡状态.设在t>0时x=0端作微小振动 A sin wt.试 求弦上各点的运动 7.电子光学中常遇到一种简单的静电透镜一一等径双筒镜,它的两极是两个无限接近 的等径(设为a)同轴长圆筒,其电势分别为v和-Vo.求筒内的静电势 提示:先在边界条件叫==Ve-sgmz下利用 Fourier变换求解,而后令k→0 第二十章 Green函数解法 1.(1)用电像法求出球内 Laplace方程第一类边值间题的Gren函数G(r;r) (2)求出边界面(球面r=a)上各点的感生电荷密度o(0,0); (3)证明像电荷和感生电荷在球内完全等效; (4)证明球内 Laplace方程第一类边值问题 f(6,d) 的解是 u(x,6,o)=a(a2-r2)/2n 0(a2+r2-2ar Os ps)/2 sin@ do 其中ψ是r(r,6,d)与r'(r,0,)的夹角 cos =cos 0 cos0+sin 0 sin@ cos(o-o) 2.一无穷长弦,t=to时在x=xo处受到瞬时的打击,冲量为I.试求解弦的横振动 设初位移和初速度均为0 3.用Gren函数方法解无界弦的横振动问题,定解问题为
Wu Chong-shi 24 → Þ ➣ ↕ 3. ß✧ Laplace ➃Ø✾ ✺➱àáâ➱ 11 ❀✑ 4. ✧ Fourier ➃Ø✶Ò✾ ✺✌➇ Ù✼ã✝☎➒➓✴ä✿❀ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x). 5. ✧ Fourier ➃Ø✶Ò✾ ✺å➇ Ù✼✫❇✝☎ ✎ ✏ ✴ä✿❀ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, u t=0 = φ(x, y), ∂u ∂t t=0 = ψ(x, y). 6. ✌❂Ù✼ã x ≥ 0 ✞ æç✜ ✫✬❶è✑❁✒ t > 0 ✵ x = 0 ✍✦éê✴ä A sin ωt ✑✽ ✾ ã✝ Ý Ü☎ëä✑ 7. ❨ ìíî ❤ ❊ïð✌ñò➍☎ó ❨ôõ ö ❃÷øõ ✞ù☎Úú➷Ú◗Ùû▲ü ☎ ö ❃ (❁☛ a) ➹✆❽❘ø✞❣ ❨ ❭ ❏➠☛ V0 ✈ −V0 ✑✾ ø❍☎ó❨❭ ✑ ýþ❞ÿ✁✂✄☎ u r=a = V0e −k|z| sgn z ✆✝✞ Fourier ✟✠✡☛✞☞✌✍ k → 0 ✑ ♠✎♥♣ Green rs✏➲ 1. (1) ✧❨✑ Ò ✾❢❆❍ Laplace ✶✷➱✌✃⑥➚✿❀☎ Green ❴❋ G(r; r 0 ) ➙ (2) ✾❢⑥✼❇ (❆❇ r = a) ✝ Ý Ü☎✒✓❨ ✔✕❉ σ(θ, φ) ➙ (3) t✉✑ ❨ ✔ ✈✒✓❨ ✔ ✒❆❍✖✗ö✘ ➙ (4) t✉❆❍ Laplace ✶✷➱✌✃⑥➚✿❀ ∇ 2u = 0, u r=a = f(θ, φ) ☎✺➷ u(r, θ, φ) = a a 2 − r 2 4π Z 2π 0 Z π 0 f(θ 0 , φ0 ) a 2 + r 2 − 2ar cosψ 3/2 sin θ 0 dθ 0 dφ 0 , ❣❤ ψ ➷ r(r, θ, φ) ❚ r 0 (r 0 , θ0 , φ0 ) ☎✙✟✞ cosψ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos φ − φ 0 . 2. ✌Ù✚❽ã✞ t = t0 ✵✒ x = x0 ç ➏ð✛✵☎✜✢✞ ✣❬ ☛ I ✑✽✾✺ã☎✳✴ä✞ ❁⑨✭➔✈⑨❼❉❱☛ 0 ✑ 3. ✧ Green ❴❋✶Ò✺Ù✼ã☎✳✴ä✿❀✞✹✺✿❀☛ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0
