解答及评分标准 (30分) 1+-1=+y=2在除2=0外的扩充的全平面(包括∞点)上可导、解析 可导区域 解析区域 (2分) 导数公式 (2分) (6分) 3.2=1是f(x)=cos-的本性奇点,resf(1)=-sin1 (3分) 2=∞是f(2)=cs2-1的解析点,res(x)=sin1 (3分) z=0和z=∞是mnz的枝点,沿着正虚轴从z=0到z=∞作割线, 规定ll=1=0,则 作割线、规定单值分枝 (1分) z=1是可去奇点,resf(1)=0 (2分) z=k,k=-1,±2,±3,……是一阶极点 (1分) In k, ln|k-(-1)i,k=-2,-3,-4, 规定l2l11=2nmi,n=±1,土,±3,…,则 z=k,k=±1,±2,±3,…都是一阶极点, k=1 Ink+(-1 nk|+(-1)(2 0是方程 dz2 出-m=0的唯一正则奇点 (3分) 方程2d2+-=0在2=0点的指标为p2=p2=0 (3分) 25分) 解一般解为 u(x,t)=Cot+Do+∑ Do+>Dn cos cOS
➪➶➹➘➴➷➬ ✱✲ ↕30 ✶ ➙ 1. x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 = 1 z ❋➮ z = 0 ➱ P✃❐P➡òó ↕➡➢ ∞ ❲ ➙❸ ➭✦✲▼◆✛ 1 z 0 = − 1 z 2 ➭✦ ❏❑ (2 ✶) ▼◆❏❑ (2 ✶) ✦ ✸ ✠✡ (2 ✶) 2. I |z|=2 cos z z 3 dz = −πi (6 ✶) 3. z = 1 ✺ f(z) = cos z z − 1 P ✔❒è❲✛ resf(1) = − sin 1 ❄ (3 ✶) z = ∞ ✺ f(z) = cos z z − 1 P▼◆❲✛ resf(∞) = sin 1 (3 ✶) 4. z = 0 ❳ z = ∞ ✺ ln z P ➬ ❲✛ û❮⑩❺❷❰ z = 0 ➾ z = ∞ ➘ ➴❯✛ ➆➇ ln z z=1 = 0 ✛❨ ➘ ➴❯✲➆➇➷ ✼✶➬ (1 ✶) z = 1 ✺ ➭Ïè❲✛ resf(1) = 0 ✛ (2 ✶) z = k, k = −1, ±2, ±3, · · · ✺✱úå❲✛ (1 ✶) resf(k) = (−1)k π ln k, k = 2, 3, 4, · · · i k = −1 (−1)k π ln |k| − (−1)k i, k = −2, −3, −4, · · · (1 ✶) (1 ✶) ➆➇ ln z z=1 = 2nπi, n = ±1, ±2, ±3, · · · ✛❨ z = k, k = ±1, ±2, ±3, · · · ➨✺✱úå❲✛ resf(k) = −2ni k = 1 (−1)k π ln k + (−1)k2ni, k = 2, 3, 4, · · · −(2n − 1)i k = −1 (−1)k π ln |k| + (−1)k (2n − 1)i, k = −2, −3, −4, · · · 5. z = 0 ✺ ➞➤ z d 2w dz 2 + dw dz − w = 0 PÐ✱⑩ ❨è❲✛ (3 ✶) ➞➤ z d 2w dz 2 + dw dz − w = 0 ❋ z = 0 ❲P➥➦❖ ρ1 = ρ2 = 0 (3 ✶) ⑦✲ ↕25 ✶ ➙ Ñ ✱Ò▼ ❖ u(x, t) = C0t + D0 + X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at cos nπ l x, u t=0 = D0 + X∞ n=1 Dn cos nπ l at cos nπ l x = x, 19
Co+>Cnacos-T=0 C=0 0,1,2, [/ 2 cos zdz (-1)2-1]n=1,2,3 原问题的解为 I 4l ②n+Dc+ at cos7 入=0对应的特解 (4分) 本征函数 (4分) (4分 初位移 (2分) 初速度 (2分) Cn=o (3分) (3分) 解式 (2分) 解采用球坐标系.由方程以及边条件知u与φ无关,故方程为 1(20)+产 sin e ae(w→n r2 dr 一般解为 (,0)=>(AIr+Br-l-l)P(cos 6) 带入边界条件, ulr sb=>(A1b+B1b-l-1PI(cos 0)=cos28 即得 Aa+Bla-l-l=0 l-1 21+1 cos"8PI(cos 0)sin ede 2l+1/1 A1b+ Brb
∂u ∂t t=0 = C0 + X∞ n=1 Cn nπ l a cos nπ l x = 0, =⇒ Cn = 0 n = 0, 1, 2, · · · D0 = 1 l Z l 0 xdx = l 2 Dn = 2 l Z l 0 x cos nπ l xdx = 2l n2π 2 [(−1)n − 1] n = 1, 2, 3, · · · Ó✾ ✖✵P▼ ❖ u(x, t) = l 2 − 4l π 2 X∞ n=0 1 (2n + 1)2 cos 2n + 1 l πat cos 2n + 1 l πx λ = 0 ✷ ➵PÔ▼ (4 ✶) ✔✕✹✸ (4 ✶) Tn (4 ✶) ÕöÖ (2 ✶) Õ×Ø (2 ✶) Cn = 0 (1 ✶) D0 (3 ✶) Dn (3 ✶) ▼✡ (2 ✶) ❿✲Ñ Ù ✜ ✚Ú➦Û❉➨➞➤➲ éÜ üý⑨ u ➧ ϕ ✢➩✛Ó➞➤ ❖ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ = 0 ✱Ò▼ ❖ u(r, θ) = X∞ l=0 Alr l + Blr −l−1 Pl(cos θ) ÝÞÜ ✗üý✛ u r=a = X∞ l=0 Ala l + Bla −l−1 Pl(cos θ) = 0 u r=b = X∞ l=0 Alb l + Blb −l−1 Pl(cos θ) = cos2 θ ➫ ➽ Ala l + Bla −l−1 = 0 Alb l + Blb −l−1 = 2l + 1 2 Z π 0 cos2 θPl(cos θ) sin θdθ = 2l + 1 2 1 3 δl,0 + 2 15 δl,2 20
B 故原间题的解为 (1-2) 2b3 u(r,6) P2(cos 0) 与φ无关 (1分) 球坐标系下 Laplace方程 般解:本征函数 RI(r) (1分) 模方 (2分) A与B1的方程1 (1分) A与B1的方程2 (1分) (1分) B (1分) 解式 (1分) 四、解设u(r,φ,t)=v(r,t)sinφ,则v(r,t)满足定解问题 Otrar( ar)72 =0,00 v,=速界,叫,=a= t>0 0. 00 ul速界,ul,=a=0, t>0 本征值问题 d dr() (r)=0
=⇒ A0 = b 3(b − a) B0 = − ab 3(b − a) A2 = 2b 3 3(b 5 − a 5) B2 = − 2a 5 b 3 3(b 5 − a 5) Ó✾ ✖✵P▼ ❖ u(r, θ) = b 3(b − a) 1 − a r + 2a 2 b 3 3(b 5 − a 5) r 2 a 2 − a 3 r 3 P2(cos θ) u ➧ ϕ ✢➩ (1 ✶) ✚Ú➦Û➋ Laplace ➞➤ (2 ✶) ✱Ò▼ ❀✔✕✹✸ (2 ✶) Rl(r) (1 ✶) ß➞ (2 ✶) Al ➧ Bl P➞➤ à (1 ✶) Al ➧ Bl P➞➤ á (1 ✶) A0 (1 ✶) B0 (1 ✶) A2 (1 ✶) B2 (1 ✶) ▼✡ (1 ✶) ➈✲Ñ ❊ u(r, ϕ, t) = v(r, t) sin ϕ ✛❨ v(r, t) ➺➻➇▼ ✖✵ ∂v ∂t − κ 1 r ∂ ∂r r ∂v ∂r − v r 2 = 0, 0 0 v r=0×✗ , v r=a = 1, t > 0 v t=0 = 0, 0 0 w r=0×✗ , w r=a = 0, t > 0 w t=0 = − r a , 0 < r < a ✔✕✼✖✵ 1 r d dr r dR(r) dr + λ − 1 r 2 R(r) = 0 21
R(0)有界,R(a) 的解为 其中1是J1(x)的第i个正零点 因此u(r,t)的一般解为 (,t)=∑CJ1 带入初条件 叫=0=∑CJ1 由此得 Ali J2(x) Jo(uli) 听以原问题的解为 (r,,t)=-sing2+2 平面极坐标下V2的表达式 齐次化函数 (2分) u(r,t)的定解问题 (2分) 本征值与本征函数 (2分) Ti(t) 分) C1的表达式 (2分) 模方 分子 (2分) 解式 (1分) 五、解:方法一x≠x′时,方程为 G (x,x)=0
R(0)×✗ , R(a) = 0 P▼ ❖ λi = µ1i a 2 , Ri(r) = J1 µ1i a r , i = 1, 2, 3, · · · ✽✘ µ1i ✺ J1(x) Pâ i ø⑩✛ ❲ ➫ ✿➩ w(r, t) P✱Ò▼ ❖ w(r, t) = X∞ i=1 CiJ1 µ1i a r e −κ(µ1i/a) 2 t ÝÞÕüý w t=0 = X∞ i=1 CiJ1 µ1i a r = − r a ➨➩ ➽ Ci = Z a 0 − r a J1 µ1i a r rdr Z a 0 J 2 1 µ1i a r rdr = − 1 a a µ1i 3 x 2J2(x) x=µ1i x=0 a 2 2 J 0 1 2 (µ1i) = 2 µ1iJ0(µ1i) ➯➲✾ ✖✵P▼ ❖ u(r, ϕ, t) = r a sin ϕ + 2X∞ i=1 1 µ1iJ0(µ1i) J1 µ1i a r e −κ(µ1i/a) 2 t sin ϕ. òóåÚ➦ ➋ ∇2 P☛ã✡ (2 ✶) äå➵ ✹✸ (2 ✶) w(r, t) P➇▼ ✖✵ (2 ✶) ✔✕✼ ➧ ✔✕✹✸ (2 ✶) Ti(t) (1 ✶) Ci P☛ã✡ (2 ✶) ß➞ (1 ✶) ✶ ➚ (2 ✶) ▼✡ (1 ✶) ➍✲Ñ ❀ æçè x 6= x 0 ➧é ➞➤ê d 2G(x, x0 ) dx 2 + k 2G(x, x0 ) = 0 22
G(, r) (2分) Ceir De-ikz (2分) G(x,x)=0=0=B=0 (2分) G在x→∞只有出射(取时间因子为et)=D=0 (2分) G(r,r)lz=r'-=G(ar, t')lzer'+ dG(, ') dG(r, r) →ikCe1kx- Ak cos kr=-1(2分) Sin h. (1分) k sIn kx'eikr x>x′ 对x作 Laplace变换,平 dG(r, a) (p,x) d-G(, a pm,x)、dG(x,x) 所以原方程变为 p,)-c(2) dr (2分) x=0 1∫dG(x,x) )=P2+k2 (2分) 得 dG(r, krn(=)--sin k( (2分) G在x→∞只射(取时间因子为e-it) dg(a 1如kkmk(x-x)∝eik (2分) x=0 (1分) os kr+isin k'= (1分) x=0 所以 (1分)
G(x, x0 ) = A sin kx + B cos kx x x0 (2 ë) (2 ë) G(x, x0 ) x=0 = 0 =⇒ B = 0 (2 ë) Gìx → ∞÷×➠➼➽ ↕❰ ➧➾í➚ê e −iωt ➙ =⇒ D = 0 (2 ë) G(x, x0 ) x=x0− = G(x, x0 ) x=x0+ =⇒ A sin kx0 = Ce ikx0 (2 ë) dG(x, x0 ) dx x=x0+ − dG(x, x0 ) dx x=x0− = −1 =⇒ ikCe ikx0 − Ak cos kx0 = −1 (2 ë) =⇒ A = 1 k e ikx0 x x0 G(x, x0 ) = 1 k e ikx0 sin kx x x0 (1 ë) (3 ë) (3 ë) æçî ï x ➘ Laplace ðñéò G(x, x0 ) ; g(p, x0 ) ó dG(x, x0 ) dx ; pg(p, x0 ) (2 ë) d 2G(x, x0 ) dx 2 ; p 2 g(p, x0 ) − dG(x, x0 ) dx x=0 (2 ë) ôõö÷➤ ð ê p 2 g(p, x0 ) − dG(x, x0 ) dx x=0 + k 2 g(p, x0 ) = −e −px0 (2 ë) g(p, x0 ) = 1 p 2 + k 2 dG(x, x0 ) dx x=0 − e −px0 (2 ë) øùú G(x, x0 ) = dG(x, x0 ) dx x=0 1 k sin kxη(x) − 1 k sin k(x − x 0 )η(x − x 0 ) (2 ë) G ì x → ∞ ûüý➼➽ ↕þÿ➾í➚ê e −iωt ➙ =⇒ dG(x, x0 ) dx x=0 1 k sin kx − 1 k sin k(x − x 0 ) ∝ e ikx (2 ë) =⇒ dG(x, x0 ) dx x=0 − cos kx0 = i sin kx0 (1 ë) =⇒ dG(x, x0 ) dx x=0 = cos kx0 + i sin kx0 = eikx0 (1 ë) ôõ G(x, x0 ) = 1 k e ikx0 sin kx x x0 (1 ë) 23