14.用定义证明点集{0Uk=12…}是R中的紧集。 证假定为点集S=0u1k=12,}的任一开覆盖。设0∈U 则36>0:0(0)=0,于是当k、时,k=n4对于{1、、 存在n}中U,使得eUm =0,1,…,[]。于是 n,n|k=0.已构成S的有限开覆盖,所以S为紧集 15.应用 Heine- Borel定理直接证明:R"上有界无限点集必有聚点。 证假定S为R"上有界无限点集,则由习题9,§=S∪S'必是闭集。 如果S无聚点,即S'=⑧,则S为s=S,即S为有界闭集,从而由 Heine- Borel定理知S为R"上的紧集 x∈S,由于x不是S的聚点,存在O(x)只含有S中有限个点。 显然O(x,6)x∈S}构成为S的一个开覆盖,但由于其中有限个O(x,) 只能包含S中有限个点,因而不存在S的有限开覆盖,矛盾!所以S 必有聚点。14. 用定义证明点集 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 是R 中的紧集。 证 假定{U }α 为点集 S= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 的任一开覆盖。设 0 0∈Uα ， 则 0 0 :O(0, ) Uα ∃ > δ δ ⊂ ，于是当 1 k δ > 时， 0 1 U k ∈ α 。对于 1 1 k 0,1, ,[ ] k δ ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭ " ， 存在{U }α 中 k Uα ，使得 1 1 , 0,1, ,[ k U k k α ] δ ∈ = " 。于是 0 1 , 0,1, ,[ k U U k α α ] δ ⎧ ⎨ = ⎩ ⎭ " ⎫ ⎬构成 S 的有限开覆盖，所以 S 为紧集。 15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： n R 上有界无限点集必有聚点。 证 假定 S 为 n R 上有界无限点集，则由习题 9，S = S ∪S′必是闭集。 如果 S 无聚点，即S' = ∅，则 S 为S = S，即 S 为有界闭集，从而由 Heine-Borel 定理知 S 为 n R 上的紧集。 ∀ ∈x S ，由于 x 不是 S 的聚点，存在O( δ ) x x, 只含有 S 中有限个点。 显然{ ( O δ ) | ∈ } x x, x S 构成为 S 的一个开覆盖，但由于其中有限个O( ) δ x x, 只能包含 S 中有限个点，因而不存在 S 的有限开覆盖，矛盾！所以 S 必有聚点。 5