0(x,a)cS°,从而S为开集,所以S必是闭集 10.设E,FcR"。若E为开集,F为闭集,证明:E\F为开集,F\E为 闭集。 证由于F为闭集,所以F为开集,而E\F=E∩F,也是开集。由于E 为开集,所以E为闭集,从而F\E=F∩E也是闭集 11.证明 Cantor闭区域套定理。 证假设S}是非空闭集序列,满足 S1=S2=…=Sk2Sk=…, 以及 lim diam s4=0。任取x∈S,则当m,n>k时,xn,xn∈S4,从而成 立xmxn|≤danS,于是{x}是基本序列,从而收敛,设其极限为x 对于任意k,当m≥k时,xn∈S,所以{x}的极限x∈S=S,于是 x∈∩S,所以∩S非空 再证唯一性。假设y∈∩S,则x- yls diam S,→>0(k→∞),所以 x=) 12.举例说明:满足mx-x=0的点列{x}不一定收敛 解x=∑∈R,则 lim xk-x:|=l →k+1 0,而kk=S1→+,所以 {xk}不收敛 13.设E,FCR"为紧集,证明E∩F和EUF为紧集。 证因为E,FcR"为紧集,所以E,F为有界闭集,于是可知E∩F和EUF 也都是有界闭集,即紧集。1 O( , x δ ) c ⊂ S ，从而 c S 为开集，所以S必是闭集。 10. 设 。若 为开集，F 为闭集，证明： 为开集， 为 闭集。 n E, F ⊂ R E E \ F F \ E 证 由于 为闭集，所以 为开集，而 ，也是开集。由于 为开集，所以 为闭集，从而 也是闭集。 F c F E F\ c = E∩F E c E \ c F E = F∩E 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 证 假设{Sk}是非空闭集序列，满足 1 2 k k 1 S S S S ⊃ ⊃" " ⊃ ⊃ + ⊃ ， 以及lim diam 0 k k S →∞ = 。任取 k S ∈ k x ，则当 m, n>k 时， ，从而成 立 , m n k x x ∈ S x x m n − ≤ diam Sk k ，于是{ 是基本序列，从而收敛，设其极限为 。 对于任意 k，当 时， }k x x m ≥ k m x ∈ S ，所以{xk}的极限 k S S ∈ = k x ，于是 ，所以 非空。 1 k k S ∞ = x ∈∩ 1 k k S ∞ = ∩ 再证唯一性。假设 ，则 1 k k S ∞ = y ∈∩ diam k x y − ≤ S → 0（ ），所以 。 k → ∞ x = y 12. 举例说明：满足lim 0 +1 − = →∞ k k k x x 的点列{xk}不一定收敛。 解 xk 1 1 k i i = = ∑ ∈R ，则 1 1 lim lim 0 1 k k k k k + →∞ →∞ − = + x x = ，而 |xk|= 1 1 k i i = ∑ → +∞ ，所以 {xk}不收敛。 13. 设E, F ⊂ Rn为紧集，证明E ∩ F和E ∪ F为紧集。 证 因为 为紧集，所以 为有界闭集，于是可知 和 也都是有界闭集，即紧集。 n E, F ⊂ R E, F E ∩ F E ∪ F 4