5.求下列点集的全部聚点 (1)S={(-1) k k (2 2k丌 k=1,2 (3)S={(x,y)(x2+y2)y2-x2+1)≤0}。 解(1)S"={tl}。 S'=x,y 6.证明定理113:x是点集S(cRn)的聚点的充分必要条件是:存 在S中的点列{xk},满足xk≠x(k=12…),且 lim xk=x。 证必要性:假设x是点集s的聚点,对于=1,在x的。=1邻域中任 k 取一点xk≠x,则有 lim xk=x。 充分性:用反证法。假设x不是点集S的聚点,则在x的某邻域 O(x,δ),o>0中,最多只有S的有限个点,所以S∩Ox,)-{x}为有限集, 于是d=infy-xly∈S,y≠x}>0,故不存在S中满足xk≠x的点列{x 以x为极限,产生矛盾。 7.设U是R2上的开集,是否U的每个点都是它的聚点。对于R2中 的闭集又如何呢? 解开集U中的每个点x一定是它的内点,所以x的任意邻域都有U 中的无限个点,所以x一定是U的聚点。 由于S={00)}是R2上的闭集,而S只有一个点,所以无聚点, 即闭集中的点不一定是它的聚点 8.证明ScR"的所有内点组成的点集S°必是开集 证假设x∈S,则3>0,O(x,。)cS。而vy∈O(x,δ),由于 O(y,6-1y- dco(x,),所以y也是S的内点,从而O(x,δ)cS°,于是 S必是开集。 9.证明scR"的闭包§=SUS必是闭集。 证假设x∈S,则xgS,且x不是S的聚点,于是在x的某邻域O(x,δ) 中至多只有S的有限项,故存在x的邻域O(x,)不含S的点,即5. 求下列点集的全部聚点： （1）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − 1,2," 1 ( 1) k k k k ； （2）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1,2," 5 2 , sin 5 2 cos k kπ kπ ； （3）S = {(x, y) | (x 2 + y 2 )( y 2 − x 2 +1)≤0}。 解 (1) S' = {±1}。 (2) S' = ∅。 (3) S' {( , ) 1 0} 2 2 = x y y − x + ≤ 。 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ n ⊂ R ）的聚点的充分必要条件是：存 在S中的点列{xk}, 满足xk ≠ x（ k =1,2,"），且 x k→∞ lim k = x 。 证 必要性：假设x是点集S的聚点，对于 1 k δ = ， 在x的 1 k δ = 邻域中任 取一点xk ≠ x，则有 x k→∞ lim k = x 。 充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域 O( , x δ ), δ > 0中，最多只有S的有限个点，所以 S ∩ O( , x δ ) −{x}为有限集， 于是d = − inf{| y x | y∈ S, y ≠ x} > 0，故不存在S中满足xk ≠ x的点列{xk} 以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 2 R 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 2 R 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0,0)}是 2 R 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明S ⊂ Rn 的所有内点组成的点集SD 必是开集。 证 假 设 x ∈SD ， 则 ∃ > δ 0 ， O( , x δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O( , x δ ) ，由于 O( , y y δ − − | x |) ⊂ O(x,δ ) ，所以 y 也是 S 的内点，从而 ，于是 必是开集。 o O( , x δ ) ⊂ S D S 9. 证明S ⊂ Rn 的闭包S = S ∪S′必是闭集。 证 假设 x c ∈S ，则 x∉ S ，且 x 不是 S 的聚点，于是在 x 的某邻域O( , x δ ) 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 1 O( , x δ )不含 S 的点，即 3