·244· 工程科学学报，第40卷，第2期 e,(k)=∑a,y,(k)-y:(k)+m,(r(k)-y,(k) M⑧L ie GR= (4) 由假设A1知，对于当前时标k,R(k),R(k+ 记全局输出误差为 1),R(k+2),…,R(k+M。)的值是已知的.基于 e,(k)7 此，将参考信号的增量做成列向量 e2(k) e(k)= ∈RW △R(k+1) △R(k+2) Lex(k) X(k)= 并令R(k)=1v⑧r()∈R,则由(4)得到 △R(k+MR)」 e(k)=-((L+M)⑧C)x(k)+(M⑧L)R(k) 显然，X(k)满足如下的代数关系 (5) XR(k+1)=AgXg(k) (9) 其中，L为有向图对应的拉普拉斯矩阵，M为牵 其中AR是(lNM)×(lNMR)矩阵，定义为 引矩阵.为方便起见，记H=L+M.注意到H1v= 0 0 07 (L+M)1x=M1w,则(4)可表示为 e(k)=-(H⑧l)(Ix⑧C)x(k)-R(k)(6) AR= 0 在假设A4下，由于H非奇异，因此从(6)得到当 且仅当lime(k)=0时(2)成立.为此，引入如下的 0 二次型性能指标函数 再次引入状态变量 J=∑∑e(k)0e,(k)+△u(k)R△u,(k) 「X(k)1 Xgo(k) k=-g+1=1 Xp(k) (7) 于是，结合(8)和(9)得到标准的离散时间线性 式中，Q和R分别是l×l和r×r的正定矩阵(i= 系统 1,2,…,N).文献[23]指出，在性能指标中引入输 Xo(+1)=Xgo(k)+Au(k) (10) 入的差分△u,(k),可使闭环系统中包含积分器，而 其中，2= = 「G. 亚= 积分器的存在有助于消除系统在跟踪过程中产生的 0 AR 静态误差. [Gg0… 0],并且2和⊙分别为[N(l+n+ 下面采用预见控制的方法构造一个增广系统， lM.)]×[N(l+n+lMR)]和[N(l+n+lMR)]× 将多智能体系统的协调预见跟踪问题转化为对增广 (Nr)的矩阵. 系统的状态调节问题，然后设计所需要的控制器. 根据本文的控制目的，取观测方程为 e(k)=IXgo(k) (11) 3最优预见控制器的设计 其中，T=[Co0]为(lW)×[N(l+n+lM.)]的矩 3.1增广系统的构造 阵.则(10)和(11)即为所需要的增广系统 将一阶后向差分算子△： 根据系统(10)中的相关变量，性能指标函数 △r(k)=x(k)-x(k-1) (7)可表示为 作用于系统(3)和全局输出误差(5)，并引入状态 向量 J=豆(0x()+a如()u() (12) X(k) e(k) L△r(k) 得到 -[88e-[8 ,分别为[N(l+n+ X(k+1)=ΦX(k)+G.△u(k)+GR△R(k+1) Ma)]×[N(l+n+M)]和[(l+n)N]×[(l+n) (8) N]的半正定矩阵.另外，Q.=diag(Q。,Qa,…, 「I-H☒CA -H⑧CB 其中，Φ= Qv),R=diag(R1,R2,…,R）. 0I⑧A G。= Iv⑧B 至此，离散时间多智能体系统的协调预见跟踪工程科学学报,第 40 卷,第 2 期 ei(k) = 移 j沂Ni aij(yj(k) - yi(k)) + mi(r(k) - yi(k)) (4) 记全局输出误差为 e(k) = e1 (k) e2 (k) 左 eN(k é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ) 沂迬 lN 并令 R(k) = 1N茚r(k)沂迬 lN , 则由(4)得到 e(k) = - ((L + M)茚C)x(k) + (M茚Il)R(k) (5) 其中, L 为有向图 G 对应的拉普拉斯矩阵, M 为牵 引矩阵. 为方便起见,记 H = L + M. 注意到 H1N = (L + M)1N = M1N, 则(4)可表示为 e(k) = - (H茚Il)((IN茚C)x(k) - R(k)) (6) 在假设 A4 下, 由于 H 非奇异, 因此从(6)得到当 且仅当lim k寅肄 e(k) = 0 时(2)成立. 为此, 引入如下的 二次型性能指标函数 J = 移 肄 k = -MR+1移 N i = 1 e T i (k)Qei ei(k) + 驻u T i (k)R寛i驻ui(k) (7) 式中, Qei和 R寛i 分别是 l 伊 l 和 r 伊 r 的正定矩阵(i = 1,2,…,N). 文献[23]指出, 在性能指标中引入输 入的差分 驻ui(k), 可使闭环系统中包含积分器, 而 积分器的存在有助于消除系统在跟踪过程中产生的 静态误差. 下面采用预见控制的方法构造一个增广系统, 将多智能体系统的协调预见跟踪问题转化为对增广 系统的状态调节问题, 然后设计所需要的控制器. 3 最优预见控制器的设计 3郾 1 增广系统的构造 将一阶后向差分算子 驻: 驻x(k) = x(k) - x(k - 1) 作用于系统(3)和全局输出误差(5), 并引入状态 向量 X0 (k) = e(k) 驻x(k é ë ê ê ù û ú ú ) 得到 X0 (k + 1) = 椎X0 (k) + Gu驻u(k) + GR驻R(k + 1) (8) 其 中, 椎 = I - H茚CA 0 IN茚 é ë ê ê ù û ú A ú , Gu = - H茚CB IN茚 é ë ê ê ù û ú B ú , GR = M茚I é l ë ê ê ù û ú ú 0 . 由假设 A1 知, 对于当前时标 k, R(k), R(k + 1), R(k + 2), …, R(k + MR )的值是已知的. 基于 此, 将参考信号的增量做成列向量 XR(k) = 驻R(k + 1) 驻R(k + 2) 左 驻R(k + MR é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ) 显然, XR(k)满足如下的代数关系 XR(k + 1) = ARXR(k) (9) 其中 AR 是(lNMR) 伊 (lNMR)矩阵, 定义为 AR = 0 IlN 0 … 0 左 埙 埙 埙 左 左 埙 埙 0 左 埙 IlN 0 … … … é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 0 再次引入状态变量 XR0 (k) = X0 (k) XR(k é ë ê ê ù û ú ú ) 于是, 结合(8) 和(9) 得到标准的离散时间线性 系统 XR0 (k + 1) = 赘XR0 (k) + 专驻u(k) (10) 其 中, 赘 = 椎 追 0 A é ë ê ê ù û ú ú R , 专 = éGu ë ê ê ù û ú ú 0 , 追 = [GR 0 … 0],并且 赘 和 专 分别为[N( l + n + lMR)] 伊 [N( l + n + lMR )] 和[N( l + n + lMR )] 伊 (Nr)的矩阵. 根据本文的控制目的, 取观测方程为 e(k) = 祝XR0 (k) (11) 其中,祝 = [C0 0]为( lN) 伊 [N( l + n + lMR )]的矩 阵. 则(10)和(11)即为所需要的增广系统. 根据系统(10) 中的相关变量, 性能指标函数 (7)可表示为 J = 移 肄 k = 1 X T R0 (k) ^QXR0 (k) + 驻u T (k)R寛驻u(k) (12) 其中, ^Q = éQ 0 ë ê ê ù û ú ú 0 0 , Q = éQe 0 ë ê ê ù û ú ú 0 0 ,分别为[N(l + n + lMR)] 伊 [N(l + n + lMR)]和[( l + n)N] 伊 [( l + n) N]的半正定矩阵. 另外, Qe = diag ( Qe1 ,Qe2 ,…, QeN), R寛 = diag(R寛1 ,R寛2 ,…,R寛N). 至此, 离散时间多智能体系统的协调预见跟踪 ·244·