卢延荣等：离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 ·243· 的矩阵.有关Kronecker积的其他性质，可参考文 另外，设r(k)的预见步数为M,即对于当前时标 献[32]. k,参考信号r(k),r(k+1),r(k+2),…,r(k+ 对于多智能体系统，智能体间的信息交换拓扑 M.)的值为已知，M。步以后的值为常值，即 通常用有向图罗=(()，))表示，其中（分= r(k+j)=r(k),j=Mg+1,Mg+2,Mg+3,… {,2,…,w}是顶点集，（分二孔分×（分代 用预见控制的相关理论来设计控制器.首先把 表弧集.顶点，∈（分表示第i个智能体，弧(：， (1)写成紧凑形式，为此引入向量 秒)∈队表示第j个智能体可以接受来自第i个 「x,(k)7 u(k) 智能体的信息，其中顶点：称为父顶点，)称为子 x2(k) 42(k) 顶点，并称：为心的邻居.基于此，定义第i个智 x(k)= ∈RN,u(k)= ∈Rw 能体的邻居集为={1（巴，：）∈(}.在有向 图罗中，如果除根顶点外，其他顶点有且只有一个 xx() LuN() 父顶点，则称有向图罗为一棵有向树.另外，在有 (k)1 向图罗中，若其全部顶点和部分弧组成的有向图为 2(k) y(k)= ∈RW. 一棵有向树，则称有向图罗包含一棵生成树 定义有向图罗的邻接矩阵为W=[a]∈ Lyx(k)」 RxN,ag表示弧(，)的权重.规定：若(，)∈ 系统(1)可表示为 分，a=1,否则a,=0.拉普拉斯矩阵L= (x(k+1)=(Iw⑧A)x(k)+(Iw☒B)u(k) [l与]∈Rxw,定义为l=∑a,l与=-a与，ij:i, y(k)=(Iw⑧C)x(k) jc. x(0)=xo (3) j=1,2,…N,显然∑与=0. 进一步，对系统(1)及其对应的有向信息交换 本文视参考信号r(k)为领导者（标记为顶点 拓扑写作如下假设 )的输出轨迹.如果第i个顶点能够接受来自领导 B A2:设(A,B)可镇定且 行满秩，1 者的信息，则弧(o,:)存在并记其权重m:=1,否 0 则m:=0.此外，记牵引矩阵为M=diag(m1,m2, 表示具有适当维数的单位矩阵. …,my). A3:设(C,A)可检测. A4:设有向图罗包含一棵生成树，而且根顶点 2问题描述 v,能够观测到来自领导者的信息，即m.=1. 考虑由N个跟随者和一个领导者构成的多智 对于假设A4,一个已知的结果是： 能体系统，其中跟随者的动力学方程为 引理13)如果假设A4成立，那么有 x:(k+1)=Ax,(k)+Bu:(k) (1)L1w=0,换言之，0是矩阵L的一个特征 ,x:(0)=x0, y;(k)=Cx;(k) 值，其相应的特征向量为1、； i=1,2,…,W (1) (2)矩阵H非奇异且其所有特征值具有正的实 其中，x(k)∈R",u:(k)∈R',y:(k)∈R'分别表 部，其中，H=L+M. 示状态，输人和输出，xm表示x:(k)的初值，A、B 在随后的讨论中，我们还需要用到下面的 和C分别为n×n、n×r和l×n的矩阵.对于取定 结果 的i,(1)中的方程就是第i个跟随者的状态方程 引理2 在假设A4成立时，矩阵 设领导者的输出（即参考信号）为r(k),本文 H⑧C 0 的目的是设计一个最优预见控制器，使得系统(1) 行满秩的充分必要条件是 IN-(I,⑧A)I,⑧B」 的闭环系统的输出y,(k)都渐近跟踪r(k),即 lim[y:(k)-r(k)]=0,i=1,2,…,N(2) 1-AB行满秩 0 首先对参考信号作如下假设. 附注1这一结果的证明方法与文献[31]中引 A1:设参考信号r(k)在k→∞时趋于常值向量 理3的证明方法很相似，因此不再重复. r,即 定义跟随者i(i=1,2,…,N)的局部邻居输出 limr(k)=r 误差为卢延荣等: 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 的矩阵. 有关 Kronecker 积的其他性质, 可参考文 献[32]. 对于多智能体系统, 智能体间的信息交换拓扑 通常用有向图 G = (V(G),E(G))表示, 其中 V(G) = {v1 ,v2 ,…,vN }是顶点集, E(G)哿V(G) 伊 V(G)代 表弧集. 顶点 vi沂V(G)表示第 i 个智能体, 弧( vi, vj)沂E(G)表示第 j 个智能体可以接受来自第 i 个 智能体的信息, 其中顶点 vi 称为父顶点, vj 称为子 顶点, 并称 vi 为 vj 的邻居. 基于此, 定义第 i 个智 能体的邻居集为 Ni = {j | (vj,vi)沂E(G)}. 在有向 图 G 中, 如果除根顶点外, 其他顶点有且只有一个 父顶点, 则称有向图 G 为一棵有向树. 另外, 在有 向图 G 中, 若其全部顶点和部分弧组成的有向图为 一棵有向树, 则称有向图 G 包含一棵生成树. 定义有 向 图 G 的 邻 接 矩 阵 为 W = [ aij ] 沂 迬 N 伊 N , aij表示弧(vj,vi)的权重. 规定:若( vj,vi)沂 E(G), aij = 1, 否则 aij = 0. 拉普拉斯矩阵 L = [l ij]沂迬 N 伊 N ,定义为 l ii = 移 j沂Ni aij, l ij = - aij, i屹j; i, j = 1,2,…,N, 显然 移 N j = 1 l ij = 0. 本文视参考信号 r( k) 为领导者(标记为顶点 v0 )的输出轨迹. 如果第 i 个顶点能够接受来自领导 者的信息, 则弧(v0 ,vi)存在并记其权重 mi = 1, 否 则 mi = 0. 此外, 记牵引矩阵为 M = diag(m1 ,m2 , …,mN). 2 问题描述 考虑由 N 个跟随者和一个领导者构成的多智 能体系统, 其中跟随者的动力学方程为 xi(k + 1) = Axi(k) + Bui(k) yi(k) = Cxi(k { ) , xi(0) = xi0 , i = 1,2,…,N (1) 其中,xi(k)沂迬 n , ui(k)沂迬 r , yi(k)沂迬 l 分别表 示状态, 输入和输出, xi0 表示 xi ( k) 的初值, A、B 和 C 分别为 n 伊 n、n 伊 r 和 l 伊 n 的矩阵. 对于取定 的 i, (1)中的方程就是第 i 个跟随者的状态方程. 设领导者的输出(即参考信号)为 r( k), 本文 的目的是设计一个最优预见控制器, 使得系统(1) 的闭环系统的输出 yi(k)都渐近跟踪 r(k), 即 lim k寅肄 [yi(k) - r(k)] = 0, i = 1,2,…,N (2) 首先对参考信号作如下假设. A1: 设参考信号 r(k)在 k寅肄 时趋于常值向量 r, 即 lim k寅肄 r(k) = r 另外, 设 r( k)的预见步数为 MR,即对于当前时标 k, 参考信号 r( k), r( k + 1), r( k + 2),…,r( k + MR)的值为已知, MR 步以后的值为常值, 即 r(k + j) = r(k), j = MR + 1,MR + 2,MR + 3,… 用预见控制的相关理论来设计控制器. 首先把 (1)写成紧凑形式, 为此引入向量 x(k) = x1 (k) x2 (k) 左 xN(k é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ) 沂迬 nN , u(k) = u1 (k) u2 (k) 左 uN(k é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ) 沂迬 rN , y(k) = y1 (k) y2 (k) 左 yN(k é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ) 沂迬 lN . 系统(1)可表示为 x(k + 1) = (IN茚A)x(k) + (IN茚B)u(k) y(k) = (IN茚C)x(k { ) , x(0) = x0 (3) 进一步, 对系统(1)及其对应的有向信息交换 拓扑 G 作如下假设. A2: 设(A,B) 可镇定且 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行满秩, I 表示具有适当维数的单位矩阵. A3: 设(C,A)可检测. A4: 设有向图 G 包含一棵生成树, 而且根顶点 vi r能够观测到来自领导者的信息, 即 mi r = 1. 对于假设 A4, 一个已知的结果是: 引理 1 [31] 如果假设 A4 成立, 那么有 (1)L1N = 0, 换言之, 0 是矩阵 L 的一个特征 值, 其相应的特征向量为 1N; (2)矩阵 H 非奇异且其所有特征值具有正的实 部,其中,H = L + M. 在随后的讨论中, 我 们 还 需 要 用 到 下 面 的 结果. 引 理 2 在 假 设 A4 成 立 时, 矩 阵 H茚C 0 InN - (IN茚A) IN茚 é ë ê ê ù û ú Bú行满秩的充分必要条件是 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行满秩. 附注 1 这一结果的证明方法与文献[31]中引 理 3 的证明方法很相似, 因此不再重复. 定义跟随者 i( i = 1,2,…,N) 的局部邻居输出 误差为 ·243·