举例: 证明f()=e'(cosy+isny)在整个复平 面上处处解析,且有f(z)=f(z) 证明:l(x,y)= e cos y,(x,y)=e'sny 于是 t y 从而 并且处处连续,从而f()在平面上 处处解析 (cos y+isin y f(=) 举例:已知f(z)在区域D内解析,且 Ref()=c证明f()在D内是一个常数。 证:f(z)=l+,由于u=c,故 又f(=)在D内解析,由C-R方程 ov ou 0, 0 从而v为常数,f()在D内也是常数。 定理2f(x)=l(x,y)+ⅳ(x,y)在区域 D内解析的充要条件是u(x,y)和v(x,y) 在D内处处可微且满足C-R方程。 定理3f(x),g(z)在D内解析,则 f(二)±g( f(x)·g(=)在D内解析 f(=) (g(二)≠0) g(二) 由求导法则证得。 定理4解析函数的复合函数仍是 解析函数,( ) ( ) (cos sin ) ( ) sin cos cos sin ( , ) cos ( , ) sin ( ) ( ) ( ) (cos sin ) f z e y i y x v i x u f z f z z x v y u y v x u e y y v e y x v e y y u e y x u u x y e y v x y e y f z f z f z e y i y x x x x x x x x = = +   +   =   −     =   =   =   = −   =   = = = = + ‘ ’ 处处解析 并且处处连续，从而 在 平面上 从而 ， ， ， ， 于是 证明： ， 面上处处解析，且有 证明 在整个复平 举例： 从而 为常数， 在 内也是常数。 又 在 内解析，由 方程 证： 由于 故 证明 在 内是一个常数。 举例：已知 在区域 内解析，且 v f z D x u y v y u x v f z D C R y u x u f z u iv u c f z c f z D f z D ( ) 0, 0 ( ) 0 ( ) , , Re ( ) . ( ) ( )    =      = −   −    =   = +   解析函数， 定理 解析函数的复合函数仍是 在 内解析 由求导法则证得。 （ ） 定理 ， 在 内解析，则 在 内处处可微且满足 方程。 内解析的充要条件是 和 定理 在区域 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) ( , ) D g z g z f z f z g z f z g z f z g z D D C R D u x y v x y f z u x y iv x y    − = +