第五章向量分析 「df 再考察 Green公式 ax ydrdy=yxdx+Ydy 由于O=Aax+ha.则d=(-)x∧d.于是上式又可 以写作 do=o 对于 Stokes公式 ∫(2-地A在+(-2 d∧dx+( or aX dx∧dy =f Xdx+Yay+Zd= 若令O=x+Ydy+Z,则有 CX do=( Ddy ad= +o -dead+ -)d∧dv 于是 Stokes公式又可以写作 do=「 最后考虑 Gauss公式, +)d=地Ad+Aax+Ad 若令O=∧d+∧d+zAdy,则 cx a cl do= +=)dx∧d入d 因此 Gauss公式又可以写作do=|o 如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理 定理( Stokes):设S为R中的k(=1,2,3)维流形,其边界为低 维的流形.又设O是S上的一个k-1次微分形式,则有 这个公式统称为 Stokes公式 现在我们已经将 Newton- Leibniz公式, Green公式, Gauss公式 和 Stokes公式统一起来了由这个途径还可以将这些公式推广到高 维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析   = I I df f  . 再考察 Green 公式:   − = + D D dxdy Xdx Ydy y X x Y      ( ) 由于  = Xdx +Ydy .则 d Y x X y  dx dy     = ( − )  . 于是上式又可 以写作   = D D d    . 对于 Stokes 公式 Xdx Ydy Zdz dx dy y X x Y dz dx x Z z X dy dz z Y y Z D S = + + −  + −  + −                 ( ) ( ) ( ) . 若令  = Xdx +Ydy + Zdz,则有 d Z y Y z dy dz X z Z x dz dx Y x X y  dx dy             = ( − )  + ( − )  + ( − )  . 于是 Stokes 公式又可以写作   = S S d    最后考虑 Gauss 公式,     + + =  +  +         dxdydz Xdy dz Ydz dx Zdx dy z Z y Y x X ( ) 若令  = Xdy dz +Ydz dx + Zdx dy, 则 d X x Y y Z z  dx dy dz       = ( + + )   因此 Gauss 公式又可以写作     =  d  . 如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理: 定理(Stokes): 设 S 为 3 R 中的 k(=1,2,3) 维流形,其边界 S 为低 一维的流形.又设  是 S 上的一个 k −1 次微分形式, 则有   = S S d    . 这个公式统称为 Stokes 公式. 现在我们已经将 Newton-Leibniz 公式 , Green 公式, Gauss 公式 和 Stokes 公式统一起来了.由这个途径还可以将这些公式推广到高 维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了