第五章向量分析 就有:d=小(种止+Ab+aAd) BX oy oz xAdy∧d faxd∧d 就有 da (五)多变量积分的基本公式一 Stokes公式 (I)微分形式在流形上的积分 设L是R中的一维流形,O一次微分形式,它在L上的积分为 @=Xdx+Yay+Zdz 这恰好是向量场F=X+万+沿有向曲线L的第二型积分,曲线 L的方向由其参数方程给定 设S为二维流形,是二次微分形式,它在S上的积分 「a=xhA+A+2Ah 正是向量场F=+万+Zk沿有向曲面S第二型积分S,曲面S方 向已经由S的参数方程给定 ●设ΩcR是三维流形(即区域)c是三次微分形式,它在Ω 上的积分: 0 f∧d∧d 与一般的三重积分 ∫r=Jfl (u2v,) 相比较,主要区别是将Ω看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要 由9的定向决定,即由Jac矩阵dtax,y2) 的符号决定 (II) Stokes公式 最后.来看如何将 Newton- Leibniz公式, Green公式 Gauss公式, 和 Stokes公式写成统一的形式 设=[a,b],∫是上的连续可微函数(零次微分形式),则 lewton- Leibniz公式为 ∫4=f(b)-f(a) 注意到a={a,b}因此 Newton- Leibniz公式又可以写作 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 就有： d = d(Xdy  dz +Ydz  dx + Zdx  dy) = dx dy dz z Z y Y x X ( + + )         = f dx  dy  dz 就有  = d (五) 多变量积分的基本公式--Stokes 公式 (I) 微分形式在流形上的积分 ⚫ 设 L 是 3 R 中的一维流形,  一次微分形式，它在 L 上的积分为   = + + L L  Xdx Ydy Zdz 这恰好是向量场 F Xi Yj Zk     = + + 沿有向曲线 L 的第二型积分, 曲线 L 的方向由其参数方程给定. ⚫ 设 S 为二维流形,  是二次微分形式，它在 S 上的积分   =  +  +  S S  Xdy dz Ydz dx Zdx dy 正是向量场 F Xi Yj Zk     = + + 沿有向曲面 S 第二型积分 S ,曲面 S 方 向已经由 S 的参数方程给定。 ⚫ 设   3 R 是三维流形(即区域)  是三次微分形式，它在  上的积分：      = f dx  dy  dz 与一般的三重积分 dudvdw u v w x y z fdV f uvw    =  | ( , , ) ( , , ) | det   相比较,主要区别是将  看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要 由  的定向决定,即由 Jacobi 矩阵 det ( , , ) ( , , )   x y z u v w 的符号决定. (II) Stokes 公式 最后. 来看如何将 Newton-Leibniz 公式,Green 公式 Gauss 公式, 和 Stokes 公式写成统一的形式. 设 I =[a,b], f 是 I 上的连续可 微函数 (零次微 分形式),则 Newton-Leibniz 公式为 df f (b) f (a) I = −  注意到 I = {a,b} 因此 Newton-Leibniz 公式又可以写作