第五章向量分析 dos ap +=+)d∧dyAd aa C d(do =d( OP 00 OR dx∧d∧d 对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论: 对于一次微分形式=ax+hdh+Z,若有do=0,即 do=d(xax+ Ydy+Zd=) )dhy∧d+ ∧x or aX Ddx adv=( 这相当于向量场F=X+y+Zk的旋度为零,即是无旋场,因 而有势函数∫,这是零次微分形式,使得 d∫=+d+d=k+hy+z ·对于二次微分形式O=P小ca+ Rdx ad, 若有do=0,即 do=d(+l入d+Z入d) ax) a dy ad= =0 这对应于向量场F=X++Z散度为零,即这是一个无源场, 前面提到,它一定是一个旋度场,即有向量场 U=Pi+oi+wk 使得F=ro( 而旋度运算相当于一次形式a=Px+Oh+Wd的外微分,即 o=d(a) 对于三次微分形式=f∧∧d,总有do=0,即 只要选择a=∧d+h∧dx+z∧d,使得 ox v 0z 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( )dx dy dz. z R y Q x P d = + +          ( ) = ( + + )dx  dy  dz = 0 z R y Q x P d d d        对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论： ⚫ 对于一次微分形式  = Xdx +Ydy + Zdz, 若有 d = 0 , 即 d = d(Xdx +Ydy + Zdz) dz dx x Z z X dy dz z Y y Z = ( − )  + ( − )          + ( − )dx  dy = 0 y X x Y     , 这相当于向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的旋度为零，即是无旋场, 因 而有势函数 f ,这是零次微分形式 , 使得 dz Xdx Ydy Zdz z f dy y f dx x f d f = + +   +   +   = ⚫ 对于二次微分形式  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 若有 d = 0, 即 d = d(Xdy  dz +Ydz  dx + Zdx  dy) = ( + + )dx  dy  dz. = 0 z zz y y x X       这对应于向量场 F Xi Yj Zk     = + + 散度为零, 即这是一个无源场， 前面提到，它一定是一个旋度场，即有向量场 U Pi Qj Wk     = + + 使得 F rot(U )   = , 而旋度运算相当于一次形式  = Pdx + Qdy +Wdz 的外微分，即  = d( ) . ⚫ 对于三次微分形式  = f dx  dy  dz , 总有 d = 0 , 即 只要选择  = Xdy  dz + Ydz  dx + Zdx  dy , 使得 f z Z y Y x X + + =      