第五章向量分析 2.一次微分形式=hx++Z的外微分在与向量场 F=+Y+Zk的旋度运算 aY、Yz、 )J ck a 相当 3.二次微分形式的O=P入+cAd+Rh∧d,的外微 分与向量场F=X+Y+Z的散度运算 ar ar al 相当. 如果微分形式O满足d=0,则称O是一个恰当微分形式 定理:( Poincare) 设微分形式O的系数二阶连续可微,则有d(do)=0 2.在一定条件下(例如为星形区域),设O是上的一个 k(=1,2,3)次恰当微分形式,则存在一个k一1次微分形式a,使得 这个定理的前半部分可以直接验证:比如 设O=Xax+h+Z,则 ae or CX )d∧d+(--)d∧dx+ dx∧chy d=(8203y ∧c八 dx Pa)dead_a'x a2z OX 0Z ∧d∧d ayaz ayax BY oX x)d∧d ay-a-xldx a dy ax aa d(do)=ar ax aar a-a)入b止 8x2体AbA-(2z-=y a入dAc Oya ayax) andy axa= ·若O=Pc+c∧d+Rxdy,则 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 2.一次微分 形式  = Xdx +Ydy + Zdz 的外微分在 与向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的旋度运算 k y X x Y j x Z z X i z Y y Z rotF     ( ) ( ) ( )             = − + − + − 相当. 3.二次微分形式的  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 的外微 分 与向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的散度运算 z Z y Y x X divF       = + +  相当. 如果微分形式  满足 d = 0, 则称  是一个恰当微分形式. 定理: (Poincare) 1.设微分形式  的系数二阶连续可微,则有 d(d) = 0. 2.在一定 条件下 (例如  为星形区 域),设  是  上的一个 k(=1,2,3) 次恰当微分形式,则存在一个 k −1 次微分形式  ,使得  = d. 这个定理的前半部分可以直接验证：比如， ⚫ 设  = Xdx +Ydy + Zdz, 则 ( ) ( ) ( )dx dy. y X x Y dz dx x Z z X dy dz z Y y Z d = −  + −  + −               dy dz dx x z Y x y Z dy dz z Y y Z d              −    −  = 2 2 ( )     , dz dx dy y x Z y z X dz dx x Z z X d              −    −  = 2 2 ( )     dx dy dz z y X z x Y dx dy y X x Y d              −    −  = 2 2 ( )     d(d) = dx dy dz z y X z x Y              −    2 2 dx dy dz y x Z y z X              −    − 2 2 dx dy dz x z Y x y Z              −    − 2 2 = 0 ⚫ 若  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 则