第五章向量分析 =X1HY2dxd+H1X2d∧dx+x1z2dx入d+ +,x,d Adx+rudy Ad +zr,d=ad (YZ2-Y2Zidy Ad+(zr2-z2Xide adr+(xr Ddx a dy (四)外微分运算 对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式O 的外微分记作da 对于零次微分形式(即可微函数)f,其外微分就是通常的全微分 df dx+dy +=dz 对于一,二,三次微分形式的外微分定义是,保持x,dAdy,与 dx∧d∧c等不动,只对于微分形式的系数(即函数)X,P,∫等进行 外微分运算.例如 d(xax)=ax∧dx dx+d+c)∧dx c∧d+一 dea dx a d(P∧c)=dP∧dAd dx+d+-c)∧d∧d dxAc∧d d((x^dAd)=可∧d入小A (+d+d)A∧如∧d=0 例1:设O=x+Ydh+Z,则 do=d(dx+h+z=)=ax∧ax+dY∧dy+dz∧d= Ddy ad=+( Dde a dx+( Ddx ady a g 例2:设O=P小入c+CAdx+R^d,则 do=dP∧d∧d+止+RAA小 )dx∧ dy adz. 由上三式可以看出以下几点 1.零次微分形式(即可微函数)∫的外微分即通常的全微分,在与 函数∫的梯度运算fa+k相当 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 = X Y dx  dy +Y X dy  dx + X Z dx  dz 1 2 1 2 1 2 + + Z X dz  dx +Y Z dy  dz + Z Y dz  dy 1 2 1 2 1 2 = (Y Z −Y Z )dy  dz + (Z X −Z X )dz  dx + (X Y −X Y )dx  dy 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 =-2 1 (四) 外微分运算 对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式  的外微分记作 d. 对于零次微分形式(即可微函数) f ,其外微分就是通常的全微分 df f x dx f y dy f z = + + dz       对于一,二,三次微分形式的外微分定义是, 保持 dx,dxdy, 与 dxdydz 等不动,只对于微分形式的系数(即函数) X, P, f 等进行 外微分运算. 例如 ( ) 0. ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) = + +    =   =    =    =   = + +   =  +  =  = + +  dz dx dy dz z f dy y f dx x f d fdx dy dz df dx dy dz dx dy dz x P dz dy dz z P dy y P dx x P d Pdy dz dP dy dz dz dx z X dy dx y X dz dx z X dy y X dx x X d Xdx dX dx                         例 1:设  = Xdx +Ydy + Zdz,则 d d Xdx Ydy Zdz dX dx dY dy dZ dz Z y Y z dy dz X z Z x dz dx Y x X y dx dy              = + + =  +  +  = −  + −  + −  ( ) ( ) ( ) ( ) . 例 2:设  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 则 ( )dx dy dz. z R y Q x P d dP dy dz dQ dz dx dR dx dy = + +   =   +   +          由上三式可以看出以下几点: 1.零次微分形式(即可微函数) f 的外微分即通常的全微分, 在与 函数 f 的梯度运算 f = + + f x i f y j f z k       相当;