第五章向量分析 =x( y=y{un,),(a,,w)∈三cR 二=二(u21,) 有零次、一次、二次和三次微分形式 其中零到二次微分形式与上述定义类似 基本的三次微分形式为d∧d入c.它的值等于 dx∧ch∧dz=det ax, y,=) dudan au, v, w) 微分形式的一般形状是 O=fa∧d∧d 其中∫是给定域上的可微函数 (II)外积 微分形式的外积“∧”是一种满足如下性质的代数运算:设 A,p,U是任意的三个微分形式 (i)结合律成立,即(A山)AU=A八(AD) (ii)分配律成立,即 aa(u+u)=Au+A,(a+uAu=AD+HAD (ii1)反称性:对基本的一次微分形式有: dx^ax=0,c∧d=0,Ac=0 dx∧的=-d∧dx,dAd=-dAd,d∧a=-d 由二次微分形式的定义,反称性是显然的 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dx∧dy=det (x,y) dsdt=-det (y,x) (S,D) 2(S,D) (=,y) dy a d== det ,2)dea._aet as, sdtsdeady d(s, t d∧ax=det dsdt =-det (x,=) dsdt= dxadz (s,1) dx adx=det x, x)=o dy dy=0.dAd==0 as,1) 对于任意两个一次微分形式 可1=Xx+}中+Z,m2=X2x+}2小+22c.由分配律得到 a1AO2=(X++Z)(X2+2dhy+Z22) 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , ( ) 3 u,v,w   R 有零次、一次、二次和三次微分形式. 其中零到二次微分形式与上述定义类似. 基本的三次微分形式为 dxdydz. 它的值等于 dx dy dz x y z u v w   = det dudvdw ( , , ) ( , , ) .   . 三次微分形式的一般形状是  = f dx  dy  dz . 其中 f 是给定域上的可微函数. (II) 外积 微分形式的外积“  ”是一种满足如下性质的代数运算：设 ,, 是任意的三个微分形式： (i)结合律成立，即 (  ) =  ( ) (ii)分配律成立，即  ( +) =    +   , ( + ) =   +   ; (iii)反称性：对基本的一次微分形式有: dx dx = 0 , dy  dy = 0 , dz  dz = 0, dx  dy = −dy  dx , dy  dz = −dz  dy , dz dx = −dx dz 。 由二次微分形式的定义,反称性是显然的: 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dsdt dy dx s t y x dsdt s t x y dx  dy = = − = −  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dz dy s t z y dsdt s t y z dy  dz = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dx dz s t x z dsdt s t z x dz  dx = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dx dx x x s t  = det = dy  dy = dz  dz = ( , ) ( , ) , , .   0 0 0 对于任意两个一次微分形式 , . 1 =X1dx +Y1dy +Z1dz  2 =X 2dx +Y 2dy +Z2dz 由分配律得到 (X dx Y dy Z dz) (X dx Y dy Z dz) 1 2 = 1 + 1 + 1  2 + 2 + 2