7.已知3阶实对称矩阵A的各行之和均为3,向量x1=(-12,-1)和 (0,-1,1)都是齐次线性方程组Ax=0的解。 (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵S,使得S′AS为对角阵。 10 8.设有矩阵A 且已知3是它的特征值。 (1)求常数x;(2)求正交矩阵S,使得(AS)(AS)为对角矩阵 9.设A=1a1,b=1,且线性方程组Ax=b有解但不唯一。 (1)求a的值;(2)求正交矩阵S,使得SAS为对角阵 10.设A是n阶实对称矩阵,满足A2=Ln,且rank(A+ln)=2,求A相似的对 角阵 11.设n阶实矩阵A有n个相互正交的实特征向量,证明A是对称矩阵, 12.设A,B是n阶矩阵,且有相同的特征值。证明:若A有n个相异特征值, 则存在n阶可逆矩阵P和n阶矩阵Q,使得A=PQ,B=QP。 13.设a,b是3维单位实列向量,且ab=0。记A=ab+b7,证明A与对 角阵-1相似 14.已知 Hermite矩阵A= 求酉矩阵U,使得UAU为对角阵 15.证明n阶矩阵A是正规矩阵的充分必要条件是:对于任意n为列向量x,成 立‖Ax1|=Ax‖ 16.设n阶矩阵A的特征值为A1,λ2,…,n,求矩阵aA2+bA+cI的行列式7．已知 3 阶实对称矩阵 A 的各行之和均为 3，向量 T ( 1, 2, 1) x1    和 T (0, 1, 1) x2   都是齐次线性方程组 Ax  0 的解。 （1） 求 A 的特征值与特征向量； （2） 求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 8．设有矩阵                1 2 1 1 0 0 1 x A ，且已知 3 是它的特征值。 （1）求常数 x ；（2）求正交矩阵 S ，使得 (AS) (AS) T 为对角矩阵。 9．设            1 1 1 1 1 1 a a a A ,             2 1 1 b ，且线性方程组 Ax  b 有解但不唯一。 （1）求 a 的值；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 10．设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 n A  I 2 ，且 rank (A  I n )  2 ，求 A 相似的对 角阵。 11．设 n 阶实矩阵 A 有 n 个相互正交的实特征向量，证明 A 是对称矩阵。 12．设 A ， B 是 n 阶矩阵，且有相同的特征值。证明：若 A 有 n 个相异特征值， 则存在 n 阶可逆矩阵 P 和 n 阶矩阵 Q ，使得 A  PQ， B  QP 。 13．设 a，b 是 3 维单位实列向量，且 a b  0 T 。记 T T A  ab  ba ，证明 A 与对 角阵            0 1 1 相似。 14．已知 Hermite 矩阵           i 1 1 i A ，求酉矩阵 U ，使得 U AU H 为对角阵。 15．证明 n 阶矩阵 A 是正规矩阵的充分必要条件是：对于任意 n 为列向量 x ，成 立 || Ax || || A x || H  。 16．设 n 阶矩阵 A 的特征值为   n , , , 1 2  ，求矩阵 aA  bA cI 2 的行列式