1 Aa 2 √3√3√ a2+-a 证明A是正交变换。 14.设a1a2a3是R3的标准正交基,求R3上的正交变换A,使得 A(a1)=:(a1 3),A(a2)=(2a1+ 15.已知酉空间C3中向量a1=(i2,-1),a2=(12,i)。求与a1,a2都正交的 单位向量 16.证明对于C"中任意向量x,y,成立 x+y‖2+‖x-y‖2=2(x2+‖yl2) §2正交相似和酉相似 1.对下列对称矩阵A,求出正交矩阵S,使得SAS=A为对角阵: 1-33-3 102 (1)A=0 (2)A= 3-3-1-3 220 2.已知A=0a2(a>0)有一个特征值1。 (1)求a和其它特征值;(2)求正交矩阵S,使得SAS为对角阵 01 3.设3阶矩阵A=020,B=(k+A2,其中k为实常数,问B是否与 01 对角阵相似?若相似,求出这样一个对角阵。 4.已知 a A=a1b,B=010 若A与B相似,(1)求a,b;(2)求正交矩阵S,使得S′AS为对角阵。 5.已知3阶实对称矩阵A有二重特征值1,和单重特征值-1,且(0,1,1)是对 应于-1的特征向量,求A 6.已知3阶实对称矩阵A的秩为2,且6是A的二重特征值,x1=(1,1,0), x2=(2,1,1),x3=(-1,2,-3)都是A的属于特征值6的特征向量。 (1)求A的另一个特征值和对应的特征向量 (2)求矩阵A。1 1 2 2 2 2 2 Aa  a  a ， 2 1 2 3 3 6 6 6 6 6 Aa  a  a  a ， 3 1 2 3 4 2 3 6 3 6 3 6 3 Aa   a  a  a  a ， 4 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 Aa  a  a  a  a 。 证明 A 是正交变换。 14．设 1 2 3 a , a , a 是 3 R 的标准正交基，求 3 R 上的正交变换 A ，使得 ( 2 2 ) 3 1 ( ) A a1  a1  a2  a3 ， (2 2 ) 3 1 ( ) A a2  a1  a2  a3 。 15．已知酉空间 3 C 中向量 T (i, 2, 1) a1   ， T (1, 2, i) a2  。求与 1 a ， 2 a 都正交的 单位向量。 16．证明对于 n C 中任意向量 x ， y ，成立 || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 x  y  x  y  x  y 。 §2 正交相似和酉相似 1. 对下列对称矩阵 A ，求出正交矩阵 S ，使得 S AS  Λ T 为对角阵： （1）            2 2 0 0 1 2 1 0 2 A ； （2）                            3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 A 。 2．已知            a a 0 2 0 2 2 0 0 A （ a  0 ）有一个特征值 1。 （1）求 a 和其它特征值；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 3．设 3 阶矩阵            1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ， 2 B  (kI  A) ，其中 k 为实常数，问 B 是否与 对角阵相似？若相似，求出这样一个对角阵。 4．已知            1 1 1 1 1 b a b a A ，            0 0 2 0 1 0 0 0 0 B 。 若 A 与 B 相似，（1）求 a，b ；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 5． 已知 3 阶实对称矩阵 A 有二重特征值 1，和单重特征值1 ，且   T 0,1,1 是对 应于1 的特征向量，求 A 。 6．已知 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 6 是 A 的二重特征值， T (1, 1, 0) x1  ， T (2, 1, 1) x2  ， T ( 1, 2, 3) x3    都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。 （1）求 A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵 A