Euclid空间与酉空间练习题 §1内积 1.设x=(1,-2,2,3),y=(3,1,5,1), (1)求x与y的夹角 (2)求与x和y都垂直的全部向量。 2.将向量组 a1=(1,-2,2),a2=(-1,0,-1),a3=(5,-3,-7 化为正交的单位向量组 3.设B是5×4矩阵,且rank(B)=2。已知齐次线性方程组Bx=0的三个解向 量为 a1=(1,1,2,3),a2=(-114,-1)2,a3=(5,-1,-8,9) 求Bx=0的解空间的一个标准正交基 4.已知齐次线性方程组 x3+x4=0 (1)求该方程组的解空间的的一个标准正交基 (2)求与该方程组的解空间中向量都正交的全部向量 3 已知Q a3-7b 为正交矩阵,求a,b 6.已知a1a2,a3是R3的标准正交基,证明: b1=(2a1+ 3),b2=(2a1-a2+2a3),b3=( 也是R3的标准正交基 7.设A,B是n阶正交矩阵且|AF=-|B,证明|A+B}=0 8.设A为n阶实对称矩阵,且满足A2+4A+3I=0。证明A+2Ⅰ是正交矩阵。 9.设A=(an)m为正交矩阵,问A的元素an与其代数余子式A有何关系? 10.设a为n维实列向量,且aa=1。证明A=I-2a为正交矩阵。 11.设A是n阶实反对称矩阵。证明:若对于n维实列向量x,y有Ax=y,则 与y正交 12.设A是n阶实对称矩阵,B是n阶实反对称矩阵,且A+B可逆,AB=BA 证明(A+B)(A-B)是正交矩阵。 13.设a1,a2a3,a4是R的标准正交基,A是R4上的线性变换满足Euclid空间与酉空间练习题 §1 内积 1．设 T x  (1,  2, 2, 3) ， T y  (3, 1, 5, 1) ， （1）求 x 与 y 的夹角； （2）求与 x 和 y 都垂直的全部向量。 2．将向量组 T (1, 2, 2) a1   ， T ( 1, 0, 1) a2    ， T (5, 3, 7) a3    化为正交的单位向量组。 3．设 B 是 5 4 矩阵，且 rank (B)  2 。已知齐次线性方程组 Bx  0 的三个解向 量为 T (1, 1,, 2, 3) a1  ， T ( 1, 1, 4, 1) a2    ， T (5, 1, 8, 9) a3    ， 求 Bx  0 的解空间的一个标准正交基。 4．已知齐次线性方程组         0 0, 2 4 1 3 4 x x x x x （1） 求该方程组的解空间的的一个标准正交基； （2） 求与该方程组的解空间中向量都正交的全部向量。 5．已知                         7 3 7 2 7 2 7 3 7 3 b c a d Q 为正交矩阵，求 a，b ，c，d 。 6．已知 1 2 3 a , a , a 是 3 R 的标准正交基，证明： (2 2 ) 3 1 b1  a1  a2  a3 ， (2 2 ) 3 1 b2  a1  a2  a3 ， ( 2 2 ) 3 1 b3  a1  a2  a3 也是 3 R 的标准正交基。 7．设 A ， B 是 n 阶正交矩阵且 | A|  | B | ，证明 | A B | 0。 8．设 A 为 n 阶实对称矩阵，且满足 4 3 0 2 A  A I  。证明 A 2I 是正交矩阵。 9．设  aij nn A ( ) 为正交矩阵，问 A 的元素 ij a 与其代数余子式 Aij 有何关系？ 10．设 a 为 n 维实列向量，且 a a 1 T 。证明 T A  In  2aa 为正交矩阵。 11．设 A 是 n 阶实反对称矩阵。证明：若对于 n 维实列向量 x ， y 有 Ax  y ，则 x 与 y 正交。 12．设 A 是 n 阶实对称矩阵， B 是 n 阶实反对称矩阵，且 A B 可逆， AB  BA。 证明 1 ( )( )  A B A B 是正交矩阵。 13．设 1 2 3 4 a , a , a , a 是 4 R 的标准正交基， A 是 4 R 上的线性变换满足