1.3 Ritz-Rayleigh Method 我们把自己限制在DA的一个有限维子集En上求F的最大值 max F(u)< max F(u)= F(a) 我们的目标是精确地计算左边,得到a=F(u)的一个下界。同时取得E最 大值的函数也是u的一个逼近。我们记P为到En上的投影算子。如果U∈ En,利用Pn的对称性,我们有 F(v)=<f,v>+<t,f>-<A,>=<f,PnU>+<Pn,f>-<At,P> =<Pf,u>+<U, Pnf >-< PnAu,U> 在En上的算子PnA是对称正定的,当A是对称正定的时候。上述的最大泛 函对应n维的方程: P Au=Pnf,un∈En 同样我们可以证明:在所有E中的函数,方程的唯一解最大化F() F(un)=max(< Pnf,v>+<U, Pnf>-<PnAu, u>) ∈En 最大化泛函的过程精确等价于求解方程 Pn Aun= Pnf 但是这个方程也可以看成方程 Au=f 到空间En上的投影。即使A是非正定的,或非线性的,也可以这样做。 在这个意义上我们称 P Au=Pnf为 Galerkin方程 这个向量方程可以转化成代数方程。设v1,,tn.为En的基,那么 解un可以写成 51.3 Ritz-Rayleigh Method ·‚rgC›3DA‡k‘f8Enþ¦FŒŠ: max v∈En F(v) ≤ max v∈DA F(v) = F(u); ·‚8I´°(/OŽ†>§α = F(u)‡e."ӞEn ŒŠ¼ê´u‡%C"·‚PPnEnþÝKŽf"XJv ∈ En§|^Pné¡5§·‚k F(v) =< f, v > + < v, f > − < Av, v >=< f, Pnv > + < Pnv, f > − < Av, Pnv > =< Pnf, v > + < v, Pnf > − < PnAv, v > 3EnþŽfPnA´é¡½§A´é¡½žÿ"þが ¼éAn‘§µ PnAun = Pnf, un ∈ En Ó·‚Œ±y²µ3¤kEn¥¼ê§§)ŒzF(v): F(un) = max v∈En (< Pnf, v > + < v, Pnf > − < PnAv, v >) Œz¼L§°(du¦)§ PnAun = Pnf. ´ù‡§Œ±w¤§ Au = f mEnþÝK"=¦A´š½§½š‚5§Œ±ù‰" 3ù‡¿Âþ·‚¡PnAun = PnfGalerkin§" ù‡•þ§Œ±=z¤ê§"v1, . . . , vnEnħ@o )unŒ±¤ un = Xn k=1 akvk 5