是必有6∈[0,z],满足f(60)=0,也就是4(O)=1(0)。 10.设函数f(x)在[0,2]上连续,且八(0)=f(2),证明:存在x,y∈[0,2], y-x=1,使得∫(x)=f(y)。 证令F(x)=f(x+1)-f(x),则F(x)在]上连续,F(1)=-F(0),于是必 有xo∈,满足F(x0)=0。令y0=x0+1,则xn,yo∈[0,2],y0-x0=1, 使得f(x)=f(o) 11.若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上有界 证由f(x)在(a,b)上一致连续,可知f(a+),f(b-)存在且有限。令 (x)x∈(a,b) f(x)=f(a+) x=a, =6 则f(x)在闭区间[ab连续,所以f(x)在[a,b有界,因此f(x)在(a,b)上 有界。 12.证明 (1)某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续; (2)某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证(1)设函数f(x),g(x)在区间上一致连续,则v>0,36>0, x,x∈1,kx-x1<6,成立(x)-f(x)<5,g(x)-g(x)<5,于是 [f(x)+g(x)-[f(x")+g(x")<E, 所以f(x)+g(x)在区间上一致连续 (2)设f(x)=g(x)=x,区间1=0+∞),则f(x),g(x)在区间l上一致 连续,但f(x)g(x)=x2在区间/上不一致连续。 13.设函数f(x)在[anb]上连续,且f(x)≠0,x∈ab,证明f(x)在[a,b上是必有θ 0 ∈ [0,π ]，满足 f (θ 0 ) = 0，也就是 ( ) 1 θ 0 l ( ) 2 θ 0 = l 。 10．设函数 在[0,2]上连续，且 f(0) = f(2)，证明：存在 ， ，使得 。 f x( ) x, y ∈[0,2] y − x = 1 f (x) = f ( y) 证 令F(x) = f (x +1) − f (x)，则F(x)在[0,1]上连续，F(1) = −F(0)，于是必 有 x0 ∈[0,1]，满足F(x0 ) = 0。令 y0 = x0 +1，则 , [0,2] x0 y0 ∈ ， ， 使得 。 y0 − x0 = 1 ( ) ( ) 0 0 f x = f y 11．若函数 f x( ) 在有限开区间(a,b)上一致连续，则 f x( ) 在(a,b)上有界。 证 由 f x( ) 在(a,b)上一致连续，可知 f (a+)， f (b−)存在且有限。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，所以 ( ) ~ f x 在 有界，因此 在 上 有界。 [a,b] f x( ) (a,b) 12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证（1）设函数 f (x)， g(x)在区间I 上一致连续，则∀ε > 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈ I ， x'−x" < δ ，成立 2 ( ') ( ") ε f x − f x < ， 2 ( ') ( ") ε g x − g x < ，于是 [ f (x') + g(x')]−[ f (x") + g(x")] < ε ， 所以 f (x) + g(x)在区间I 上一致连续。 （2）设 f (x) = g(x) = x ，区间 I = [0,+∞)，则 f (x) ， g(x) 在区间I 上一致 连续，但 f (x)g(x) = x 2在区间I 上不一致连续。 13. 设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，且 f (x) ≠ 0, x ∈[a,b]，证明 f x( ) 在[a,b]上 55