第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案 一、如图，半径为R、质量为M的半球静置于光滑水平桌面 m 上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r的匀质小球。某 时刻，小球受到微小的扰动后由静止开始沿半球表面运动。 在运动过程中，小球相对于半球的位置由角位置日描述，日为 两球心的连线与竖直方向之间的夹角。己知小球绕其对称轴 7777777777￥7777777777 的转动惯量为m,小球与半球之间的动摩擦因数为山，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 重力加速度大小为g。 (1)小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为日时，半球 运动的速度大小Vv(8)和加速度大小aw(e): (2)当小球纯滚动到角位置日，时开始相对于半球滑动，求日，所满足的方程（可用半球速度大 小'(8)和加速度大小a(8)以及题给条件表示)： (3)当小球刚好运动到角位置，时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 vn(8) 参考解答： (1)(解法一) 半球和小球组成的系统在水平方向上没有受到外力作用，系统在水平方向上动量守恒 -MVy+mf(R+r)0cose-Vu]=0 ① 设小球转动角速度大小为@，小球做纯滚动，故有 ro=(R+r)0 ② 无耗散力做功，系统的机械能守恒 mg(R+r)(1-cose) w+号fR+rn0ao-f+R+i}+o ③ 2 式中1=m2。联立①②3式得，小球运动到角位置日时半球速度大小 10m2(R+r)g(1-cose)cos2e ④ 7(M+m)-5mcose(M+m) 或 离0 将上式两边对时间：微商得第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案 一、如图，半径为 R 、质量为 M 的半球静置于光滑水平桌面 上，在半球顶点上有一质量为 m 、半径为 r 的匀质小球。某 时刻，小球受到微小的扰动后由静止开始沿半球表面运动。 在运动过程中，小球相对于半球的位置由角位置 描述， 为 两球心的连线与竖直方向之间的夹角。已知小球绕其对称轴 的转动惯量为 2 2 5 mr ，小球与半球之间的动摩擦因数为  ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 重力加速度大小为 g 。 （1）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为1 时，半球 运动的速度大小VM 1  和加速度大小 aM 1  ； （2）当小球纯滚动到角位置2 时开始相对于半球滑动，求2 所满足的方程（可用半球速度大 小   VM 2 和加速度大小   M 2 a  以及题给条件表示）； （3）当小球刚好运动到角位置 3 时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 vm 3  。 参考解答： （1）（解法一） 半球和小球组成的系统在水平方向上没有受到外力作用，系统在水平方向上动量守恒 [( ) cos ] 0     MV m R r V M M    ① 设小球转动角速度大小为，小球做纯滚动，故有 r Rr    ( )  ② 无耗散力做功，系统的机械能守恒     2 2 2 2 ( )(1 cos ) 11 1 cos sin 22 2 M M mg R r MV m Rr V Rr I                      ③ 式中 2 2 5 I  mr 。联立①②③式得，小球运动到角位置1 时半球速度大小      2 2 1 1 2 1 10 1 cos cos 7 5 cos M m R rg V M m m Mm             ④ 或 2 2 2 1 1 2 1 10 ( )(1 cos )cos [7 (5sin 2) ]( ) M mgR r V M mm M         将上式两边对时间t 微商得 m r  R M