阵A有两个不同的特征值A=±a,故存在非奇异矩阵P,使得 PAP- A 作变换w=Pv=(,2),方程组(29)可化成 (30) 方程组(30)由两个独立的一阶双曲型方程联立而成。因此下面主要讨论一阶双曲型方 程的差分解法。 考虑一阶双曲型方程的初值问题 0 t>0 (31) l(x,0)=(x) 00<X<+0 与抛物型方程的讨论类似,仍将x平面剖分成矩形网格。取x方向步长为h,t方向步 长为r,网格线为x=xk=Mh(k=0,+1+2…),t=1,=r(=0,2…)。为简便起 见,记(k,=(xk,y),以(k,)=(xk,y),Q=(x) 以不同的差商近似偏导数,可以得到方程(9)的不同的差分近似 l4 llk + a 0 h 结合离散化的初始条件,可以得到几种简单的差分格式 §3一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB解法 3.1工具箱命令介绍 MATLAB提供了一个指令 pdepe,用以解以下的PDE方程式 c(x,t 其中时间介于≤t≤t之间,而位置x则介于[a,b]有限区域之间。m值表示问题的 对称性,其可为0,1或2,分别表示平板(slab),圆柱( cylindrical减或球体( spherical的情 形。因而,如果m>0,则a必等于b,也就是说其具有圆柱或球体的对称关系。同时, 式中f(x,1,u,u/ax)一项为流通量(fux),而S(x,t,u,au/ax)为来源( source))项。 c(x,Lu,a/ax)为偏微分方程的对角线系数矩阵。若某一对角线元素为0,则表示该偏 微分方程为椭圆型偏微分方程,若为正值(不为0),则为拋物型偏微分方程。请注意c的 对角线元素一定不全为0。偏微分方程初始值可表示为-247- x v A x a v t v ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∂ ∂ 1 0 0 2 （29） 矩阵 A 有两个不同的特征值λ = ±a ，故存在非奇异矩阵 P ，使得 ⎥ = Λ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − a a PAP 0 0 1 作变换 T w Pv (w ,w ) = = 1 2 ，方程组（29）可化成 x w t w ∂ ∂ = Λ ∂ ∂ （30） 方程组（30）由两个独立的一阶双曲型方程联立而成。因此下面主要讨论一阶双曲型方 程的差分解法。 考虑一阶双曲型方程的初值问题 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∞ < < +∞ = > − ∞ < < +∞ ∂ ∂ + ∂ ∂ u x x x t x x u a t u ( ,0) ( ) 0 0 ϕ (31) 与抛物型方程的讨论类似，仍将 xt 平面剖分成矩形网格。取 x 方向步长为 h ，t 方向步 长为τ ，网格线为 x = x = kh(k = 0,±1,±2,L), k t = t = j ( j = 0,1,2,L) j τ 。为简便起 见，记( , ) ( , ) k j k j = x y ， ( , ) ( , ) k j u k j = u x y ， ( ) k k ϕ = ϕ x 。 以不同的差商近似偏导数，可以得到方程（9）的不同的差分近似 0 , 1 , 1, , = − + + − + h u u a uk j uk j k j k j τ （32） 0 , 1 , , 1, = − − + − − h u u a uk j uk j k j k j τ （33） 0 2 , 1 , 1, 1, = − − + − + − h u u a uk j uk j k j k j τ （34） 结合离散化的初始条件，可以得到几种简单的差分格式。 §3 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 3.1 工具箱命令介绍 MATLAB 提供了一个指令 pdepe，用以解以下的 PDE 方程式 ( , , , ) ( ( , , , )) ( , , , ) x u s x t u x u x f x t u x x t u x u c x t u m m ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − （35） 其中时间介于 f t ≤ t ≤ t 0 之间，而位置 x 则介于[a,b]有限区域之间。m 值表示问题的 对称性，其可为 0，1 或 2，分别表示平板(slab)，圆柱(cylindrical)或球体(spherical)的情 形。因而，如果 m > 0 ，则a 必等于b ，也就是说其具有圆柱或球体的对称关系。同时， 式中 f (x,t,u,∂u ∂x) 一项为流通量(flux)，而 s(x,t,u,∂u ∂x) 为来源(source)项。 c(x,t,u,∂u ∂x) 为偏微分方程的对角线系数矩阵。若某一对角线元素为 0，则表示该偏 微分方程为椭圆型偏微分方程，若为正值(不为 0)，则为拋物型偏微分方程。请注意c 的 对角线元素一定不全为 0。偏微分方程初始值可表示为