lkA=41,+(1-2r)uk,+Plk-1 将式(18)与(21),(22)结合,我们得到求解问题(7)的一种差分格式 =Pk41+(1-2r)uk +ru (k=1,2…,n-1,j=0,1,…,m-1) (k=1,2,…,n) 10o1=g1;ln=8: (=1,2 由于第0层(=0)上节点处的a值已知(u10=k),由式(25)即可算出u在第一层 (=1)上节点处的近似值uk。重复使用式(25),可以逐层计算出各层节点的近似值。 (ⅱi)古典隐式格式 将(19)整理并与式(21),(22)联立,得差分格式如下 e lkj +r(u k-1,j+1 1)(k=1,2,…,n-1,j=0,1,…,m-1) Pu (k=0,…,n) 10=g1 g (=01,…,m) aT Bh。虽然第0层上的a值仍为已知,但不能由式(30)直接计算以上各层节 点上的值uk,,故差分格式(26)称为古典隐式格式。 (ⅲi)杜福特一弗兰克尔( Do Fort- Frankel)格式 DoFort- Frankel格式是三层显式格式,它是由式(24)与(25),(26)结合得到 的。具体形式如下 lyk1(k=1,2,…,n-1,=1,2 1) 1+2 (k=0,1,…,n) uo,=g1, un,j=2j (=0.1,…,m) 用这种格式求解时,除了第0层上的值uk由初值条件(21)得到,必须先用二层格式 求出第1层上的值k1,然后再按格式(27)逐层计算,(=2,3,…,m) 23双曲型方程的差分解法 对二阶波动方程(10) l =a 如果令v1 ,则方程(10)可化成一阶线性双曲型方程组 at- ax (28) 记v=(v1,n2),则方程组(28)可表成矩阵形式-246- k j k j k j k j u , 1 ru 1, r u , ru 1, (1 2 ) + = + + − + − 将式（18）与（21），（22）结合，我们得到求解问题（7）的一种差分格式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = + = + + − + − = − = − , ( 1,2, , ) ( 1,2, , ) (1 2 ) ( 1,2, , 1, 0,1, , 1) 0, 1 , 2 ,0 , 1 1, , 1, u g u g j m u k n u ru r u ru k n j m j j n j j k k k j k j k j k j L L L L ϕ （25） 由于第 0 层( j = 0) 上节点处的u 值已知( ) uk ,0 = ϕ k ，由式（25）即可算出u 在第一层 ( j = 1) 上节点处的近似值uk ,1 。重复使用式（25），可以逐层计算出各层节点的近似值。 （ii）古典隐式格式 将（19）整理并与式（21），（22）联立，得差分格式如下 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = + = + + + − + + − + = − = − , ( 0,1, , ) ( 0,1, , ) ( 2 )( 1,2, , 1, 0,1, , 1) 0, 1 , 2 ,0 , 1 , 1, 1 , 1 1, 1 u g u g j m u k n u u r u u u k n j m j j n j j k k k j k j k j k j k j L L L L ϕ （26） 其中 2 h a r τ = 。虽然第 0 层上的u 值仍为已知，但不能由式（30）直接计算以上各层节 点上的值uk , j ，故差分格式（26）称为古典隐式格式。 （iii）杜福特—弗兰克尔（DoFort—Frankel）格式 DoFort—Frankel 格式是三层显式格式，它是由式（24）与（25），（26）结合得到 的。具体形式如下： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = − = − + − + + + + = + − − , ( 0,1, , ) ( 0,1, , ) ( 1,2, , 1, 1,2, , 1) 1 2 1 2 ( ) 1 2 2 0, 1 , 2 ,0 , 1 1, 1, , 1 u g u g j m u k n u k n j m r r u u r r u j j n j j k k k j k j k j k j L L L L ϕ (27) 用这种格式求解时，除了第 0 层上的值uk ,0 由初值条件（21）得到，必须先用二层格式 求出第 1 层上的值uk ,1 ，然后再按格式（27）逐层计算 ( 2,3, , ) uk , j j = L m 。 2.3 双曲型方程的差分解法 对二阶波动方程（10） 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 如果令 x u v t u v ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 = 2 , ，则方程（10）可化成一阶线性双曲型方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x v t v x v a t v 2 1 1 2 2 （28） 记 T v (v ,v ) = 1 2 ，则方程组（28）可表成矩阵形式