于是有 a(）p1-m--1=00<p<1 -0 但上式左端是p的n+1次多项式，它最多在(0,1)区间有n+1个实根，可无偏性要求对(0,1)中的 任一实数p上式都成立.这个矛盾说明g(p)=1/p无的偏估计不存在 今后我们把不存在无偏估计的参数除外.参数的无偏估计若存在，则此参数为可估参数：若 参数函数的无偏估计存在，则称此函数为可估函数(Estimable function).因此可估函数的无偏 估计类是非空的 假如可估函数的无偏估计类中的无偏估计不止一个，怎样比较它们的优劣？故引入下列的 定义 定义2.设多={F6,0∈日]}是一个参数分布族，其中日为参数空间，g(0)为定义在日上的可 估函数.设g*(X)=g(X1,·,Xn)为g()的一个无偏估计，若对g()的任一无偏估计(X)= (X1,…,Xn),都有 Da(g*(X)≤Da(g(X),对一切0∈Θ， 则称g(X)是g(0)的一致最小方差无偏估计(Uniformly Minimum Variance Unbiased Estima- tion,简记为UMVUE)】 对给定参数分布族，如何寻找可估参数的UMVUE呢？本节以下将介绍两种方法：零无偏估 计法和充分完全统计量法，下一节的Cramer-Rao不等式法也是寻找JMVUE的一种方法， 在前面我们曾介绍过Rao-Blackwell定理，这一定理提供了一个改进无偏估计的方法，它在 本节以下寻找UMVUE中，起到简化问题的作用.重新表述此定理如下 定理1(Rao-Blackwel).设T=T(X)是一个充分统计量，而g(X)是g(0的一个无偏估计，则 h(T)=E(g(X)T) 是g(0)的无偏估计，并且 De(h(T)≤De(g(X),一切8∈Θ， (1.1) 其中等号当且仅当P(g(X)=h(T)=1,即g(X)=h(T),a.e.Pg成立. 这个引理提供了一个改进无偏估计的方法，即一个无偏估计(X)对充分统计量T(X)的条 件期望E{(X)T}将能导出一个新的无偏估计，且它的方差不会超过原估计量©(X)的方差.若 原估计(X)不是T(X)的函数，则新的无偏估计E((X)T)一定比原估计(X)具有更小的方差. 这个定理还表明一致最小方差无偏估计一定是充分统计量的函数，否则可以通过充分统计量构 造出一个具有更小方差的无偏估计来. 例2.设X=(X1,·,X)是从两点分布族{b(1,p)：0<p<1}中抽取的简单样本.显 然，X1是即的一个无偏估计，T(X)=∑=1X,是p的充分统计量，试利用T=T(X)构造一个具有 比X1方差更小的无偏估计. 解由引理3.4.1可知，容易构造p的一个无偏估计如下： h(T)=E(XT=t)=1·P(X1=1T=t)+0.P(X1=0T=t)u¥k Xn i=0 ai  n i  p i+1(1 − p) n−i − 1 = 0, 0 < p < 1. ˛™Ü‡¥pn + 1gıë™, ßÅı3(0, 1)´mkn + 1á¢ä, åÆ5á¶È(0, 1)• ?ò¢Íp˛™—§·. ˘ágÒ`²g(p) = 1/pÆOÿ3. 8￾·Çrÿ3ÆOÎÍÿ . ÎÍÆOe3, KdÎÍèåÎÍ; e ÎͺÍÆO3, K°dºÍèåºÍ (Estimable function). œdåºÍÆ Oa¥öò. bXåºÍÆOa•ÆOÿéòá, N'ßÇ`? ⁄\e ½¬. ½¬ 2. F = {Fθ, θ ∈ Θ}¥òáÎÍ©Ÿx, Ÿ•ΘèÎÍòm,g(θ)转3Θ˛å ºÍ. gˆ ∗ (X) = ˆg ∗ (X1, · · · , Xn)èg(θ)òáÆO, eÈg(θ)?òÆOgˆ(X) = gˆ(X1, · · · , Xn),—k Dθ(ˆg ∗ (X)) ≤ Dθ(ˆg(X)), ÈòÉ θ ∈ Θ, K°gˆ ∗ (X)¥g(θ)òóÅêÆO (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estima￾tion, {PèUMVUE). Èâ½ÎÍ©Ÿx, X¤œÈåÎÍUMVUEQ? !±eÚ0¸´ê{: "Æ O{⁄ø©⁄O˛{, eò!Cramer-Raoÿ™{襜ÈUMVUEò´ê{. 3c°·ÇQ0LRao-Blackwell½n, ˘ò½nJ¯ òáU?ÆOê{, ß3 !±eœÈUMVUE•,Â{zØKä^. ­#L„d½nXe ½n 1 (Rao-Blackwell). T = T(X)¥òáø©⁄O˛, gˆ(X)¥g(θ) òáÆO, K h(T) = E(ˆg(X)|T) ¥g(θ)ÆO, øÖ Dθ(h(T)) ≤ Dθ(ˆg(X)), òÉ θ ∈ Θ, (1.1) Ÿ•“Ö=Pθ ￾ gˆ(X) = h(T)
= 1,=gˆ(X) = h(T), a.e. Pθ§·. ˘á⁄nJ¯ òáU?ÆOê{, =òáÆOgˆ(X) Èø©⁄O˛T(X)^ áœ"E{gˆ(X)|T} ÚU—òá#ÆO, Ößêÿ¨áLO˛gˆ(X)ê. e Ogˆ(X)ÿ¥T(X)ºÍ, K#ÆOE(ˆg(X)|T)ò½'Ogˆ(X)‰kçê. ˘á½nÑL²òóÅêÆOò½¥ø©⁄O˛ºÍ, ƒK屜Lø©⁄O˛ E—òá‰kçêÆO5. ~2. X = (X1, · · · , Xn)¥l¸:©Ÿx{b(1, p) : 0 < p < 1}•ƒ{¸. w ,,X1¥pòáÆO, T(X) = Pn i=1 Xi¥p ø©⁄O˛, £|^T = T(X)Eòá‰k 'X1êçÆO. ) d⁄n3.4.1å,N¥EpòáÆOXeµ h(T) = E(X1|T = t) = 1 · P(X1 = 1|T = t) + 0 · P(X1 = 0|T = t) 2