=PX1=1,T==PX1=1,X2+…+Xn=t-1) P(T=t) P(T=t) p()p-1(1-p)m-t t 9㎡0-pn-—=元=2 显然样本均值h(T)=的方差为(1-p)/m,而X1的方差为p(1-p,当n≥2时x的方差更小. 二、零无偏估计法 本段介绍一个一般性的定理，用以判断某一估计量是否为UMVUE 定理2.设(X)是g()的一个无偏估计，D(G(X)<∞，对任何0∈日.且对任何满足条件 “Egl(X)=0,对一切0∈日”的统计量1(X),必有 Cowe(gX),l(X)=Eg[g(X)·l(X)]=0一切8∈Θ， (1.2) 则g(X)是g(0)的UMVUE. 从形式上看，条件“El(X)=0,对一切0∈日”可解释为“1(X)是零的无偏估计”，由此 得到求UMVUE的方法之一的名称“零无偏估计法”。 此定理还可进一步加强为：设(X)为g()的一个无偏估计，Da(G(X)<∞，一切9∈Θ 则g(X)是g()的UMVUE的充分必要条件是：对任何满足条件“Egl(X)=0,对一切0∈日”的 统计量(X),必有(1.2)成立. 证设1(X)为g(0)的任一无偏估计.记(X)=1(X)-(X)为零的无偏估计，由于(1.2)式 成立，因而 Da(©1(X)=Da[©(X)+1(X)] =Do(g(X))+De(1(X))+2Cove(g(X),1(X)) Do(g(x))+Do(i(X)>Do(g(x). 另一方面，如果6=g(X)为g(0)的UMVUE,则对任意的零无偏估计量(x),令 6=6+l(X) 则6仍为g()的无偏估计，且 Var(6')=Var(6+XI(X))=X2Var(I(X))+2XCou(6,1(X))+Var(6)>Var(6). 对所有的成立.等价于 X2Var((X)+2ACo(6,l(X)≥0，Hλ. 左边有两个根λ=0和入=-Cou(6,l(X)/Var(l(X),推出Cow(6,l(X)=0. 这就证明了所要的结果 从定理的内容看，它是一个验证某个特定的估计量(X)为UMVUE的方法.至于这个特 定的估计g(X)从何而来，定理3.4.1不能提供任何帮助，它不是UMVUE的构造性定理.g(X)可 以从直观的想法提出，如由矩估计或极大似然估计等方法获得，然后利用此定理验证它是否= P(X1 = 1, T = t) P(T = t) = P(X1 = 1, X2 + · · · + Xn = t − 1) P(T = t) = p · ￾n−1 t−1
p t−1 (1 − p) n−t ￾n t
p t(1 − p) n−t = t n = ¯x. w,˛äh(T) = X¯êèp(1 − p)/n, X1êèp(1 − p),n ≥ 2ûX¯êç. !"ÆO{ „0òáòÑ5½n, ^±‰,òO˛¥ƒèUMVUE. ½n 2. gˆ(X)¥g(θ)òáÆO, Dθ(ˆg(X)) < ∞,È?¤θ ∈ Θ. ÖÈ?¤˜v^á /Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0⁄O˛l(X),7k Covθ ￾ gˆ(X), l(X)
= Eθ gˆ(X) · l(X) = 0, òÉ θ ∈ Θ, (1.2) Kgˆ(X)¥g(θ)UMVUE. l/™˛w, ^á/Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0å)ºè/l(X) ¥"ÆO0, dd ¶UMVUEê{Éò¶°/"ÆO{0. d½nÑå?ò⁄\rè: gˆ(X)èg(θ)òáÆO, Dθ(ˆg(X)) < ∞, òÉ θ ∈ Θ, Kgˆ(X)¥g(θ)UMVUEø©7á^á¥: È?¤˜v^á/Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0 ⁄O˛l(X), 7k(1.2)§·. y gˆ1(X)èg(θ)?òÆO. Pl(X) = ˆg1(X) − gˆ(X) è"ÆO, du(1.2)™ §·, œ Dθ ￾ gˆ1(X)
= Dθ gˆ(X) + l(X) = Dθ ￾ gˆ(X)
+ Dθ ￾ l(X)
+ 2Covθ ￾ gˆ(X), l(X)
= Dθ ￾ gˆ(X)
+ Dθ ￾ l(X)
≥ Dθ ￾ gˆ(X)
. ,òê°, XJδ = ˆg(X)èg(θ)UMVUE, KÈ?ø"ÆO˛l(x), - δ 0 = δ + λl(X) Kδ 0Eèg(θ)ÆO, Ö V ar(δ 0 ) = V ar(δ + λl(X)) = λ 2V ar(l(X)) + 2λCov(δ, l(X)) + V ar(δ) ≥ V ar(δ). ȧkλ§·. du λ 2V ar(l(X)) + 2λCov(δ, l(X)) ≥ 0, ∀ λ. Ü>k¸áäλ = 0⁄λ = −Cov(δ, l(X))/V ar(l(X)), Ì—Cov(δ, l(X)) = 0. ˘“y² §á(J. l½nSNw, ߥòáy,áA½O˛gˆ(X)èUMVUEê{. ñu˘áA ½Ogˆ(X)l¤ 5, ½n3.4.1ÿUJ¯?¤êœ, ßÿ¥UMVUEE5½n. ˆg(X)å ±lÜ*é{J—, Xd›O½4åq,Oê{º, ,￾|^d½nyߥƒ 3