为g()的UMVUE.条件(1.2)的验证也不容易，因为零无偏估计很多.下面的几个例子说明，本章 前面一些例子中提到的几个常用估计，都可以用此法验证其为UMVUE. 例求上例中g(p)=p的UMVUE, 解由上例已知T=∑=1X,为充分统计量，X)=T/n,故只要验证它满足定理的条件. 显然g(X)是p的无偏估计.且D(gX)=p(1-p)/n<oo,对一切0<p<1.现设1=l(T)为任一 零无偏估计，并记a;=l(),i=0,1,2,·,n,则因T~b(n,p),故有 E4四=2()）pI-m-=00<<1 约去因子(1-p)”,并记p=p/(1-p)(p取值(0，∞)，将上式改写为 2✉()= ,一切0<9<o. 上式左边是p的多项式，要使其为0，必有a:(份=0，即a:=0,i=1,2,…,n.故l(T)在其定义域 中处处为0，因而有(T)三0.从而有 Coup(g,I(T))=E(g1(T))=0. 即定理条件成立，故g(X)==T/n为p的UMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从指数分布EP(A)中抽取的简单样本，求总体均值g()= 1/A的JMVUE. 解由于在指数分布族中T=∑”1X为入的充分统计量，则T~T(n,),其密度函数为 (t,入)= tn-1et当t>0 0 当t≤0， 其中入>0.取g(X)=T/m,显然E(G(X)=1/入，即g(X)为g()=1/A的无偏估计，且D(©(X)= 1/(n入2)<o∞.现设1=1(T)为任一零无偏估计，故有 E(T)= l(t)人mn-e-λt=o. 即l(t)tn-1e-tdt=0.两边对入求导得 l(t)t"e-λtdt=0, Jo 此式等价于E[T/n·l(T)]=E(g·(T)=Cou(g·I)=0,即定理条件成立.因此g(X)=T/n 为g(A)=1/A的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从均匀分布U(0,)中抽取的简单样本，求的UMVUE. 解由T=T(X)=Xn)是参数的充分统计量，又知g(X)=出T是的无偏估计， 且D((T)=+可2<0.现设1(T)为任一零无偏估计，T的密度函数如(？)所示，因此有 Eol(T)= l(t).ntn-1 9m一dt=0,一切6>0，èg(θ)UMVUE. ^á(1.2)yèÿN¥, œè"ÆOÈı. e°Aá~f`², Ÿ c°ò ~f•JAá~^O, —å±^d{yŸèUMVUE. ~ ¶˛~•g(p) = pUMVUE. ) d˛~ÆT = Pn i=1 Xièø©⁄O˛, ˆg(X) = T /n,êáyߘv½n^á. w,gˆ(X)¥pÆO. ÖDθ(ˆg(X)) = p(1 − p)/n < ∞,ÈòÉ0 < p < 1.yl = l(T)è?ò "ÆO, øPai = l(i), i = 0, 1, 2, · · · , n, KœT ∼ b(n, p),k Ep l(T) = Xn i=0 ai  n i  p i (1 − p) n−i = 0, 0 < p < 1. œf(1 − p) n,øPϕ = p/(1 − p) (ϕ ä(0, ∞)), Ú˛™Uè Xn i=0 ai  n i  ϕ i = 0, òÉ 0 < ϕ < ∞. ˛™Ü>¥ϕıë™, ᶟè0, 7kai ￾n i
= 0,=ai = 0, i = 1, 2, · · · , n.l(T)3Ÿ½¬ç •??è0, œ kl(T) ≡ 0.l k Covp ￾ g, l ˆ (T)
= E ￾ gˆ · l(T)
= 0. =½n^᧷, gˆ(X) = X¯ = T /nèpUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èlçÍ©ŸEP(λ) •ƒ{¸, ¶oN˛äg(λ) = 1/λUMVUE. ) du3çÍ©Ÿx•T = Pn i=1 Xièλø©⁄O˛, KT ∼ Γ(n, λ),Ÿó›ºÍè φ(t, λ) = ( λ n (n−1)!t n−1 e −λt  t > 0 0  t ≤ 0, Ÿ•λ > 0.gˆ(X) = T /n, w,E(ˆg(X)) = 1/λ,=gˆ(X) èg(λ) = 1/λÆO, ÖDλ(ˆg(X)) = 1  (nλ2 ) < ∞.yl = l(T)è?ò"ÆO, k El(T) = Z ∞ 0 l(t) λ n (n − 1)!t n−1 e −λtdt = 0, = R ∞ 0 l(t)t n−1 e −λtdt = 0.¸>Èλ¶ Z ∞ 0 l(t)t n e −λtdt = 0, d™duEλ T /n · l(T) = Eλ(ˆg · l(T)) = Covλ(ˆg · l) = 0,=½n^᧷. œdgˆ(X) = T /n èg(λ) = 1/λUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èl˛!©ŸU(0, θ)•ƒ{¸, ¶θUMVUE. ) dT = T(X) = X(n)¥ÎÍθø©⁄O˛, qgˆ(X) = n+1 n T¥θÆO, ÖDθ(ˆg(T)) = 1 n(n+2) θ 2 < ∞. yl(T)è?ò"ÆO, Tó›ºÍX(??)§´, œdk Eθl(T) = Z θ 0 l(t) · ntn−1 θ n dt = 0, òÉ θ > 0, 4