于是有 l(t)tn-1dt=0,一切8>0. 将上式两边对9求导得(0)9m-1=0,一切0>0.故有1(0)三0对一切9>0.可见Cow(g,l(T)= E(g·l(T)=0,即定理条件成立.因此g(X)=tX(m为g()=的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从正态分布N(a,o)中抽取的简单随机样本，求a和o的UMVUE. 解由T=(T1,T2)为9=(a,o2)的充分统计量其中T1=元，T2=∑”1(X-)2, 又T和T2独立，且T1心N(a,σ2/m),T2/o2X品-1.因此(T1,T2)的联合密度为 a女=0(r）会 当-00<ti<+o,t2>0;其它处为0. (1.3) 先考虑a的JMVUE,令g,(X)=T1,显然g(X)为g(g)=a的无偏估计，且Dg(g,(X)= σ2/n<0∞.现设1(T)=1(T1,T2)为任一零无偏估计，则有 Eum)=人a.w,sM西=a 此处-o<a<o,g>0.将上式两边对a求导数，得 p+ada -0. 按(1.3)，此即 Cog(g,l(T)=Eg(g1·l(T,T2)）=0,-o<a<+o,o>0, 故定理3.4.1的条件满足.所以g,(X)=T为g(0)=a的UMVUE. 同理可验证T2=S2为g2(0)=σ的JMVUE,这一验证留为练习. 三、充分完全统计量法 下列定理给出的求JMVUE的方法，即充分完全统计量法是由E.L.Lehmann和H.Scheffe给 出的，完全统计量的概念也是由他们在1950年提出的. 定理(Lehmann-Scheffe定理)设T(X)为一个充分完全统计量，若(T(X)为g(0)的 一个无偏估计，则g(T(X)是g()的唯一的UMVUE(唯一性是在这样的意义下：若g和g,都 是g(0)的JMVUE,则Pa(g≠g)=0,对一切9∈Θ). 证先证唯一性.设g1(T(X)为g()的任一无偏估计，令6(T(X)=(T(X)-1(T(X), 则E6(T(X)=E(T(X)-E1(T(X)=0,对一切0∈日.由T(X)为完全统计量，可 知6(T(X)=0,a.e.Pg.即g(T(X)=1(T(X),a.e.Pg,故唯一性成立. 设p(X)为g()的任一无偏估计.令h(T(X)=E(p(X)T),由T(X)为充分统计量，故知h(T(X)与0无 关，因此是统计量，可知 Ea(h(T(X))=g(): 一切9∈Θ， De(h(T(X))≤Dg(p(X),一切0∈O. 5u¥k Z θ 0 l(t)t n−1 dt = 0, òÉ θ > 0. Ú˛™¸>Èθ ¶l(θ)θ n−1 = 0, òÉ θ > 0.kl(θ) ≡ 0 ÈòÉθ > 0.åÑCov(ˆg, l(T)) = E(ˆg · l(T)) = 0,=½n^᧷. œdgˆ(X) = n+1 n X(n)èg(θ) = θUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èl©ŸN(a, σ2 )•ƒ{¸ëÅ, ¶a⁄σ 2UMVUE. ) dT = (T1, T2)èθ = (a, σ2 ) ø©⁄O˛.Ÿ•T1 = X, T ¯ 2 = Pn i=1(Xi − X¯) 2 , qT1⁄T2’·, ÖT1 ∼ N ￾ a, σ2/n
, T2/σ2 ∼ χ 2 n−1 . œd(T1, T2)È‹ó›è f(t1, t2) = √ n √ 2πσ2 e − n(t1−a) 2 2σ2 ·  2 n−1 2 Γ n − 1 2  σ n−1 −1 t n−3 2 2 e − t2 2σ2 ,  − ∞ < t1 < +∞, t2 > 0; Ÿß?è 0. (1.3) kƒaUMVUE, -gˆ1 (X) = T1,w,gˆ1(X) èg1(θ) = aÆO, ÖDθ(ˆg1 (X)) = σ 2/n < ∞.yl(T) = l(T1, T2)è?ò"ÆO, Kk Eθ(l(T)) = Z ∞ 0 Z ∞ −∞ l(t1, t2)fθ(t1, t2)dt1dt2 = 0, d?−∞ < a < ∞, σ > 0.Ú˛™¸>Èa¶Í,  Z ∞ 0 Z ∞ −∞ l(t1, t2)(t1 − a) · t n−3 2 2 exp n − 1 2σ 2 n(t1 − a) 2 + t2 o dt1dt2 = 0, U(1.3),d= Covθ ￾ gˆ1 , l(T)
= Eθ ￾ gˆ1 · l(T1, T2)
= 0, −∞ < a < +∞, σ > 0, ½n3.4.1^á˜v. §±gˆ1 (X) = T1èg1 (θ) = aUMVUE. ”nåyT2 = S 2èg2(θ) = σ 2UMVUE, ˘òy3èˆS. n!ø©⁄O˛{ e½nâ—¶UMVUEê{, =ø©⁄O˛{¥dE.L. Lehmann⁄H. Scheffeâ —, ⁄O˛Vgè¥d¶Ç31950cJ—. ½n (Lehmann-Scheffe½n) T(X)èòáø©⁄O˛, egˆ(T(X))èg(θ)  òáÆO, Kgˆ(T(X))¥g(θ) çòUMVUE (çò5¥3˘ø¬e: egˆ⁄gˆ1— ¥g(θ)UMVUE, KPθ(ˆg 6= ˆg1 ) = 0,ÈòÉθ ∈ Θ). y kyçò5. gˆ1(T(X))èg(θ)?òÆO, -δ(T(X)) = ˆg(T(X)) − gˆ1(T(X)), KEθδ(T(X)) = Eθgˆ(T(X)) − Eθgˆ1(T(X)) = 0,ÈòÉθ ∈ Θ. dT(X)è⁄O˛, å δ(T(X)) = 0, a.e. Pθ.=gˆ(T(X)) = ˆg1(T(X)), a.e. Pθ, çò5§·. ϕ(X)èg(θ)?òÆO. -h(T(X)) = E(ϕ(X)|T),dT(X)èø©⁄O˛, h(T(X))Üθà ', œd¥⁄O˛, å Eθ(h(T(X))) = g(θ), òÉ θ ∈ Θ, Dθ(h(T(X))) ≤ Dθ(ϕ(X)), òÉ θ ∈ Θ. 5