由唯一性得(T(X)=h(T(X),a.e.Pa故有 Dg(G(T(X)≤Da(p(X),一切8∈6， 所以g(T(X)为g(O)的UMVUE,且唯一. 推论设样本X=(X1,·,Xn)的分布为指数族 fx,60)=C(0)ep{∑6，T(x)}h(x,0=(0,…,s)∈6. =1 令T(X)=(T1(X),·,Tk(X),若自然参数空间日作为Rk的子集有内点，且h(T(X)为g()的无 偏估计，则h(T(X)为g(0)的唯一的JMVUE. 证在推论的条件下，由指数族的性质可知T(X)为充分完全统计量.故由Lehmann- Scheffe定理（简记为L-S定理），得知h(T(X)为g()的唯一的UMVUE. 例证明两点分布的p的无偏估计g(X)=T/n=X为p的UMVUE. 证由因子分解定理可知T(X)=上X:为两点分布(1，p)中参数即的充分统计量， 由例2.8.1知T(X)也是完全统计量，故(X)=T/m=是充分完全统计量T(X)的函数， 且Epg(X)=p,对0<p<1.因此由L-S定理可知g(X)为p的唯一的JMVUE. 在上例中，已知T=∑X:服从二项分布m,p叭，且TX)为充分完全统计量，求g回 p(1-p)的JMVUE. 解设6(T)为g(p)=p(1-p)的一个无偏估计，要导出(T)的表达式.按无偏估计的定义 及T~b(n,p),可得 三（份0u-=-队-0<p<1 令p=p/(1-p故有p=p/(1+p),1-p=1/1+p),将它们代入上式得 2()0p=AI+p-?0<ps 将1+p)n-2展开得a1+)=三(0p+1=写（但=，将其代入上式右边得 三（日0t-三(-） ,0<p<o. 上式两边为p的多项式，比较其系数得 6t)=0,当t=0,n @一找， n(n-1)' 当t=1,2,…,n-1. 综合上述两式得 6(T)=I(n-T) n(n-1)' t=0,1,…,n 6dçò5gˆ(T(X)) = h(T(X)), a.e. Pθk Dθ(ˆg(T(X)) ≤ Dθ(ϕ(X)), òÉ θ ∈ Θ, §±gˆ(T(X)) èg(θ)UMVUE, Öçò. Ìÿ X = (X1, · · · , Xn)©ŸèçÍx f(x, θ) = C(θ) exp nX k j=1 θjTj (x) o h(x), θ = (θ1, · · · , θk) ∈ Θ. -T(X) = (T1(X), · · · , Tk(X)), eg,ÎÍòmΘäèRkf8kS:, Öh(T(X))èg(θ)à †O, Kh(T(X))èg(θ)çòUMVUE. y 3Ìÿ^áe, dçÍx5üåT(X)èø©⁄O˛. dLehmann￾Scheffe½n ({PèL-S½n), h(T(X))èg(θ)çòUMVUE. ~ y²¸:©ŸpÆOgˆ(X) = T /n = X¯ èpUMVUE. y dœf©)½nåT(X) = Pn i=1 Xiè¸:©Ÿb(1, p)•ÎÍp ø©⁄O˛, d~2.8.1T(X)è¥⁄O˛, gˆ(X) = T /n = X¯¥ø©⁄O˛T(X)ºÍ, ÖEp gˆ(X) = p,È0 < p < 1. œddL-S½någˆ(X)èpçòUMVUE. ~ 3˛~•, ÆT = Pn i=1 Xi—lë©Ÿb(n, p), ÖT(X)èø©⁄O˛, ¶g(p) = p(1 − p)UMVUE. ) δ(T)èg(p) = p(1 − p)òáÆO, á—δ(T)Là™. UÆO½¬ 9T ∼ b(n, p),å Xn t=0  n t  δ(t)p t (1 − p) n−t = p(1 − p), òÉ 0 < p < 1. -ρ = p/(1 − p), kp = ρ/(1 + ρ), 1 − p = 1/(1 + ρ),ÚßÇì\˛™ Xn t=0  n t  δ(t)ρ t = ρ(1 + ρ) n−2 , 0 < ρ < ∞. Úρ(1 + ρ) n−2 –mρ(1 + ρ) = nP−2 l=0 ￾n−2 l
ρ l+1 = nP−1 t=1 ￾n−2 t−1
ρ t ,ÚŸì\˛™m> Xn t=0  n t  δ(t)ρ t = nX−1 t=1  n − 2 t − 1  ρ t , 0 < ρ < ∞. ˛™¸>èρıë™, 'ŸXÍ δ(t) = 0,  t = 0, n; δ(t) =  n − 2 t − 1 , n t  = t(n − t) n(n − 1),  t = 1, 2, · · · , n − 1. n‹˛„¸™ δ(T) = T(n − T) n(n − 1) , t = 0, 1, · · · , n 6